msleziak.com

Chceme ukázať, že ak $A$, $B$ sú podobné tak:$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

• $A^2$ a $B^2$ sú podobné
• $A^{-1}$ a $B^{-1}$ sú podobné
• $A^T$ a $B^T$ sú podobné

(V časti o inverzných maticiach implicitne predpokladáme aj to, že $A$, $B$ sú regulárne. Inak by nemalo zmysel hovoriť o inverzných maticiach.)

Riešenie
Vo všetkých troch častiach vlastne stačí použiť definíciu podobnosti matíc.

a) Predpokladáme teda, že $B=PA\inv P$ pre nejakú regulárnu maticu $P$.
$$B^2=(PA\inv P)(PA\inv P) = PA (\inv P P) A\inv P = PAA\inv P=PA^2\inv P$$
Teda aj $A^2$ a $B^2$ sú podobné.

Takmer rovnako by sme to vedeli ukázať pre $A^n$, kde $n$ je ľubovoľné prirodzené číslo. To sme využili napríklad v dôkaze, že podobné matice majú rovnaký minimálny polynóm: viewtopic.php?t=657

b) Pre inverznú maticu dostaneme
$$\inv B=\inv{(PA\inv P)}=\inv{(\inv P)}\inv A\inv P=P\inv A\inv P$$
Teda aj $\inv A$ a $\inv B$ sú podobné.

c) Ak robíme s transponovanou maticou tak
$$B^T=(PA\inv P)^T=(\inv P)^TA^TP^T = \inv{(P^T)}A^TP^T$$
(Vieme, že ak $P$ je regulárna, tak aj $P^T$ je regulárna a $(\inv P)^T=\inv{(P^T)}$.)
Ukázali sme, že aj $A^T$ a $P^T$ sú podobné.

Dalo by sa použiť aj to, že sa podobné matice predstavujú to isté zobrazenie. Potom by sme sa v a) pozerali na zobrazenie $f^2=f\circ f$, v b) na inverzné zobrazenie $f^{-1}$. V časti c) by bolo treba použiť duálne zobrazenie - to ešte len budete preberať.

Komentáre k riešeniam z vašich písomiek, chyby ktoré sa vyskytovali$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Našli sa ľudia ktorí tvrdili, že:

$B^2=(PA\inv P)^2=P^2A^2\inv{(P^2)}$

Toto vo všeobecnosti neplatí. Pretože násobenie matíc nie je komutatívne, nedá sa použiť $AB=A^2B^2$.

Rovnaké vlastné čísla
Viacerí ste ukázali, že $A^2$ a $B^2$, resp. $A^{-1}$ a $B^{-1}$ majú rovnaké vlastné čísla.
(Čo je skutočne pravda. Ak poznám vlastné čísla matice $A$, tak vlastné čísla $A^2$ sú ich druhé mocniny, vlastné čísla $A^{-1}$ sú práve čísla tvaru $\lambda^{-1}$.)
Ak však dve matice majú rovnaké vlastné čísla, tak z toho ešte nevyplýva, že sú podobné.
Zopakujem, čo som spomínal už veľakrát: Podobné matice majú rovnaké vlastné čísla, hodnosť, determinant, stopu, charakteristický aj minimálny polynóm. Je to však iba nutné, nie postačujúca podmienka. T.j. implikácia tu je iba jedným smerom: viewtopic.php?t=657

Cez Jordanov tvar
V jednej písomke sa vyskytol argument, že ak $A$ aj $B$ sú podobné s tou istou diagonálnou maticou, tak dostaneme:
$A=PD\inv P$ $\Rightarrow$ $\inv A=P\inv D \inv P$
$B=QD\inv Q$ $\Rightarrow$ $\inv B=Q\inv D \inv Q$
Vidíme, že $\inv A$ aj $\inv B$ sú podobné s $\inv D$. A z toho už vyplýva, že $\inv A$, $\inv B$ sú podobné.
Tento argument by bol ok, ale prešiel by iba pre diagonalizovateľné matice.
Ak by ste namiesto diagonálnej matice použili Jordanov tvar, tak tento argument prejde. (Využívame to, že dve matice sú podobné práve vtedy, keď majú rovnaký Jordanov tvar.)
Takmer rovnako by to prešlo pre $A^2$ či $A^T$. (Stále však má postup uvedený vyššie tú výhodu, že sme tam nepotrebovali nijaké silné vety, vystačili sme si vlastne s definíciou.)

Ak si chcete pozrieť príklady zo starších písomiek, tak tie sú tu:
viewtopic.php?t=681
viewtopic.php?t=682
viewtopic.php?t=683
viewtopic.php?t=684
viewtopic.php?t=897
viewtopic.php?t=898
viewtopic.php?t=899
viewtopic.php?t=900