msleziak.com

V dokaze istej vety som pouzil znamu frazu "...zrejme plati...", ktoru matematici s oblubou pouzivaju ked nevedia alebo sa im nechce zdovodnit dokaz nejakeho ciastocneho tvrdenia. Konkretne islo o istu modifikaciu tohoto: Nech $X$ je neprazdna mnozina a $f \colon X \to [0,1]$ je lubovolna funkcia. Potom zrejme plati $\sum\limits_{x \in X} f(x) = \sup \{ \sum\limits_{x \in F} f(x);\ F\text{ je konecna podmnozina }X \}$. Dvaja matematici, ktorych si vazim sa ma nezavisle na sebe spytali: Netreba predpokladat, ze ta mnozina $X$ je nanajvys spocitatelna? Tak som sa zamyslel a musel som uznat, ze to mozno nie je "uplne zrejme", hoci to nie je az taky tazky problem dokazat. Stretli ste sa s takymto tvrdenim? A s jeho velmi jednoduchym dokazom?

Asi to závisí aj od toho, ako definuješ $\sum\limits_{x\in X} f(x)$. Myslím, že niektoré texty majú priamo to suprémum, ktoré si napísal ako definíciu. (Najmä v prípadoch, že ich zaujímajú iba kladné hodnoty.) Ja ako štandardnú beriem takúto definíciu: Definujem $\sum\limits_{x\in X} f(x)=S$ ak pre každé $\varepsilon>0$ existuje konečná množina $F$ taká, že
$$\left|S-\sum\limits_{x\in F}f(x)\right| < \varepsilon.$$
Táto definícia sa dá bez zmeny použiť pre lineárne normované priestory. S drobnou zmenou - namiesto $\varepsilon>0$ vezmem okolie - sa to dá zadefinovať pre topologický vektorový priestor. (A stále sa to tam správa vcelku rozumne.)
Ak robíme s reálnymi číslami, tak sa definícia dá nie moc ťažko rozšíriť tak, aby sme zadefinovali aj to kedy je súčet $S=+\infty$ resp. $S=-\infty$.

Na túto definíciu sa dá pozerať aj cez siete. Je to presne limita siete definovanej na usmernenej množine pozostávajúcej z konečných podmnožín množiny $X$. (A členy siete sú presne konečné súčty.)

Rovno spomeniem, že na jednom predmete, ktorý učím, mám v poznámkach pre študentov napísané niečo o takýchto sumách - tu je linka na poslednú verziu textu, časť o takýchto sumách je tam v dodatku.

*************************************

V istom zmysle je pravda, že spočítateľnosť tam hrá nejakú úlohu. Jedno z klasických tvrdení je, že pre reálne čísla, ak takáto suma existuje, tak množina $\{x\in X; f(x)\ne0\}$ je spočítateľná. (T.j. nenulových hodnôt môžeme mať nanajvýš spočítateľne veľa.)
Keď ešte pridáme to, že pre kladné hodnoty sa to zhoduje so suprémom, ktoré si uviedol a tiež to, že funguje analógia Cauchyho podmienky - mám dojem, že sme už vymenovali najčastejšie spomínané vlastnosti takýchto súm.

*************************************

Linky

Niečo sa dá nájsť o takýchto sumách napríklad tu:

• Use of $\sum $ for uncountable indexing set
• The sum of an uncountable number of positive numbers
• Does uncountable summation, with a finite sum, ever occur in mathematics?
• Looking for a reference (textbook) for an elementary analysis problem on uncountable sums

Takéto sumy sa spomínajú aj na Wikipédii: Summations over arbitrary index sets (tu je linka na súčasnú verziu článku. Je to tam definované pre kladné reálne čísla ako suprémum. Sú v tej časti spomenuté nejaké referencie (Dieudonné, Bourbaki, Choquet) - zatiaľ som neskúšal, či sa k nim viem dostať ani čo presne sa v uvedených referenciách píše.

Referencie

• J. Dixmier: General topology. Tu je celá kapitola 9.4 venovaná takýmto sumám. (Spomeniem, že to je kniha ktorá sa mi celkom páči a tiež by mohla byť blízka ľuďom z tohoto seminára, lebo tam veľa vecí robí cez filtre resp. bázu filtra - takým bourbakistickým prístupom.)
• T. Tao: Analysis I - tejto téme je venovaná kapitola 8.2. Je tam trochu iný prístup - ale pre kladné reálne čísla dostaneš ako sumu presne to isté suprémum.