msleziak.com

Úloha 1.1. Dokážte: Nech $f,g\colon X\to Y$ a $h\colon Y\to Z$ sú zobrazenia. Ak $h$ je injekcia a $h\circ f=h\circ g$, tak $f=g$.

Rozhodoval som sa dokazovať obmenu výroku, teda namiesto výroku:
Ak $h\circ f=h\circ g$ tak $f=g$.
budem dokazovať výrok:
Ak $f \neq g$ tak $h\circ f \neq h\circ g$.

Ak teda $f \neq g$ potom určite:
$\exists x \in X : f(x) \neq g(x)$

lebo ako vieme, funkcie sa rovnajú vtedy, keď sa rovná ich definičný obor aj obor hodnôt a zároveň $\forall k\in X : f(k)=g(k)$.
Prvé dve podmienky zjavne platia takže porušená bude práve tretia.
Potom ale jediná možnosť aby pre $x$ platilo:
$h\circ f(x)=h\circ g(x)$ je aby sa dve rôzne hodnoty $f(x)$ a $g(x)$ zobrazili na to isté číslo, čo je ale nemožné
kedže $h$ je injekcia...
Preto platí $h\circ f \neq h\circ g$.

Riešenie je fajn. Značím si 1 bod.

Zeditoval som nadpis a skopíroval do vášho príspevku zadanie. (Možno sa bude ostatným úloha ľahšie čítať, ak budú mať pred sebou zadanie a nebudú musieť ísť pozrieť sa do iného topicu. Takisto ak si niekto prezerá fórum, ak je z názvu trochu jasné o čom úloha zhruba je, asi si skôr vie vybrať či ho zaujíma ako iba z čísla úlohy.

Takmer rovnako by sa dalo to isté ukázať aj bez obmeny - aspoň stručne naznačím..

Dôkaz. Máme ľubovoľné $x\in X$.
Potom z rovnosti $h\circ f=h\circ g$ máme
$$h(f(x))=h(g(x)).$$
Ak využijeme to, že $h$ je inejktívne, tak potom platí $f(x)=g(x)$.

Ukázali sme, že pre každé $x\in X$ platí $f(x)=g(x)$, teda zobrazenia $f$ a $g$ sa rovnajú.$\square$