Je to špeciálny prípad vety z prednášky
Ak sa pozriete na zadanie, tak vlastne to o čo tu ide, je špeciálny prípad niečoho, čo ste dokázali všeobecnejšie na prednáške.
Konkrétne tu máte komutatívnu grupu $G=(\mathbb R,+)$ a nejakú jej podgrupu $H$. (V jednom prípade je to $\mathbb Q$, v druhom $\mathbb Z$.)
Relácia, ktorá tu vystupuje, je presne relácia ekvivalencie, ktorá sa použila v definícii faktorovej grupy.
Úplne by som akceptoval ako správne riešenie aj ak by ste napísali toto. (Asi by som v takom prípade očakával, že ešte stručne napíšete zdôvodnenie, že to je skutočne podgrupa.)
Každopádne sa to asi oplatí spomenúť. Nezaškodí keď sa pozriete na dôkaz spomenutej vety - mali by ste vidieť, že dôkaz všeobecnej vety vyzerá veľmi podobne ako to, čo dostanete ako riešenie v tomto prípade.
Riešenia
Skúsme sa ale pozrieť na to, ako to dostaneme bez odvolávania sa na všeobecnejšie výsledky. Vyskúšajme trebárs skupinu A.
Reflexívnosť. Máme overiť, že pre ľubovoľné $x\in\mathbb R$ platí $(x,x)\in R$.
$$(x,x)\in R \Leftrightarrow x-x\in\mathbb Q \Leftrightarrow 0\in\mathbb Q$$
Toto očividne platí. (Využívame iba to, že nula je racionálne číslo.)
Symetrickosť. Chceme overiť, že pre reálne čísla $x$, $y$ z $(x,y)\in R$ vyplýva $(y,x)\in R$.
$$(x,y)\in R \Rightarrow x-y\in\mathbb Q \Rightarrow y-x=-(x-y)\in\mathbb Q \Rightarrow (y,x)\in R$$
Teda aj táto vlastnosť platí. (Využili sme iba to, že opačné číslo k racionálnemu číslu je opäť racionálne.)
Tranzitívnosť. Chceme zistiť, či z $(x,y)\in R$ a $(y,z)\in R$ vyplýva aj $(x,z)\in R$.
$$(x,y)\in R \land (y,z)\in R \Rightarrow (x-y\in\mathbb Q) \land (y-z\in\mathbb Q) \Rightarrow x-z=(x-y)+(y-z)\in\mathbb Q$$
Overili sme aj tranzitívnosť. (Využili sme tu, že súčet racionálnych čísel je racionálne číslo.)
Chyby, ktoré sa vyskytovali v odovzdaných riešeniach
Zdá sa, že u tých čo tento príklad nemali, sú nejasnosti v tom čo vlastne je relácia ekvivalencie.
Niektorí ste vlastne nenapísali nič (niektorí aspoň definíciu). Našlo sa zopár písomiek, kde boli napísané veci nijako nesúvisiace s otázkou, či ide o reláciu ekvivalencie.