msleziak.com

Medzi rečou som spomenul, že sa nedá veľmi očakávať "explicitne popísaný" príklad Hamelovej bázy (a iných podobných objektov.) Bez toho, aby som jasne sformuloval čo znamená "explicitne popísaný" - o to sa ani nebudem pokúšať.

Jeden pohľad je taký, že ak sa niečo nedá dokázať v ZF, tak dôkaz musí obsahovať nejaký "nekonštruktívny" krok. Iný možný pohľad je, že ak o nejakej množine vieme, že nie je merateľná, tak sa nedá veľmi očakávať explicitný popis. (Omylom som tvrdil, že Hamelova báza $\mathbb R$ nad $\mathbb Q$ nie je merateľná - čo nie je pravda. Stále však je pravda, že z existencie Hamelovej bázy vyplýva existencia nemerateľnej množiny. Možno som ako príklad vecí, ktoré sa nedajú explicitne popísať kvôli nemerateľnosti radšej vybrať ultrafiltre alebo nespojité aditívne funkcie.)

Každopádne, cieľom len bolo povedať niečo o tom že aj nemerateľnosť môže povedať niečo o tom, či môžeme očakávať explicitné príklady. Skúsim pridať nejaké linky, ak by si niekto chcel o veciach smerujúcich k niečomu takémuto prečítať viac:

• Is there a known well ordering of the reals?
• Non-measurability of ultrafilter on $\omega$
• Explicit Hamel basis of real numbers
• Are there any non-linear solutions of Cauchy's equation ($f(x+y)=f(x)+f(y)$) without assuming the Axiom of Choice?
• Is every vector space basis for $\mathbb{R}$ over the field $\mathbb{Q}$ a nonmeasurable set?
• Can a basis for $\mathbb{R}$ be Borel?