msleziak.com

Keď sme sa rozprávali o Newtonovom integrále, tak prišla reč aj na jeho porovnanie s inými integrálmi. Na túto tému som začal tento topic - snáď tu časom aj niečo rozumné pribudne.

Perronov integrál

Zdá sa, že Perronov integrál je všeobecnejší ako Newtonovo.
Na dnešnom seminári sme sa pozerali do knihy Gordon R. The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock (AMS, 1994).
V Theorem 8.26 sa píše:

Theorem 8.26 Let $F\colon [a,b]\to\mathbb R$ be continuous and $[a,b]$. If $F$ is differentiable nearly everywhere on $[a,b]$, then $F'$ is Perron integrable on $[a,b]$ and $\int\limits_a^x F' = F(x)-F(a)$ for each $x\in[a,b]$.

Ak tomuto tvrdeniu správne rozumiem, tak to hovorí presne to, že funkcia, ktorá je integrovateľná v Newtonovom zmysle je integrovateľná aj v Perronovom zmysle.

* Výraz "nearly everywhere" znamená až na spočítateľnú množinu. (Definované na s.101-102.)
* Tesne predtým sa tvrdí, že viaceré definície Perronovho integrálu sú ekvivalentné. (Vynechať/pridať podmienku že horné/dolné funkcie sú spojité, požadovať nerovnosť iba mimo množiny miery nula.) Označujú tieto ďalšie verzie ako $P_c$ a $P_x$ integrál. Ekvivalencia $P_c$ a $P_x$ je dokázaná v tejto kapitole, dôkaz že sú ekvivalentné aj s tou treťou možnosťou je odložený o niekoľko kapitol ďalej. (Teda asi nebude úplne jednoduchý.)
* Ešte by sa asi patrilo porozmýšľať nad tým, či vieme nájsť príklad ukazujúci, že inklúzia je ostrá.