Zjednotenie podgrúp
Posted: Sun Nov 19, 2017 7:32 pm
Prémiová úloha vyzerala v oboch skupinách takto:
Jeden smer by mal byť ľahký, ak jedna z podgrúp je podmnožinou druhej, tak aj zjednotenie je podgrupa.
Hint:
Riešenie:
Zaujímavejší je opačný smer. Oplatí sa to vyskúšať sporom.
T.j. predpokladáme, že $H_1\setminus H_2\ne\emptyset$ a súčasne $H_2\setminus H_1 \ne\emptyset$. (Rozmyslite si, že toto naozaj dostaneme z negácie predpokladov o inklúziách medzi $H_1$ a $H_2$.)
Vieme teda, že existuje nejaký prvok $a \in H_1 \setminus H_2$. A tiež že existuje nejaký prvok $b\in H_2 \setminus H_1$.
Vedeli by ste nejako pomocou prvkov $a$, $b$ dospieť k sporu?
Hint:
Hint 2:
Obrázková pomôcka:
Zvyšok riešenia:
Skúsim tu riešenie naznačiť - celé rišenie je skryté. (Ak chcete o probléme ešte rozmýšľať sami, nech nemáte prezradené celé riešenie.)Nech $G$ je grupa a $H_1$, $H_2$ sú jej podgrupy. Dokážte, že $H_1\cup H_2$ je podgrupa práve vtedy, keď $H_1\subseteq H_2$ alebo $H_2\subseteq H_1$.
Jeden smer by mal byť ľahký, ak jedna z podgrúp je podmnožinou druhej, tak aj zjednotenie je podgrupa.
Hint:
Spoiler:
Spoiler:
T.j. predpokladáme, že $H_1\setminus H_2\ne\emptyset$ a súčasne $H_2\setminus H_1 \ne\emptyset$. (Rozmyslite si, že toto naozaj dostaneme z negácie predpokladov o inklúziách medzi $H_1$ a $H_2$.)
Vieme teda, že existuje nejaký prvok $a \in H_1 \setminus H_2$. A tiež že existuje nejaký prvok $b\in H_2 \setminus H_1$.
Vedeli by ste nejako pomocou prvkov $a$, $b$ dospieť k sporu?
Hint:
Spoiler:
Spoiler:
Spoiler:
Spoiler: