Príklad na ortogonálny doplnok

[Martin Sleziak]

Úloha: Nájdite bázu a dimenziu priestoru $S^\bot$ pre $S=[(1,2,3,4),(1,1,1,1),(4,3,2,1)]$. (S obvyklým skalárnym súčinom.)

Pokúsme sa nájsť najprv bázu a dimenziu priestoru $S$.

$
\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\
1&1&1&1\\
4&3&2&1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\
1&1&1&1\\
5&5&5&5
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\
1&1&1&1\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1&1&1&1\\
1&2&3&4\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1&1&1&1\\
0&1&2&3\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1&0&-1&-2\\
0&1&2&3\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}
$

Vidíme, že podpriestor $S$ má bázu pozostávajúcu z vektorov $(1,0,-1,-2)$ a $(0,1,2,3)$. Teda jeho dimenzia je $d(S)=2$.

Z prednášky vieme, že $\mathbb R^4=S\oplus S^\bot$, a teda $d(\mathbb R^4)=d(S)+d(S^\bot)$.

Teda dimenzia ortogonálneho doplnku priestoru $S$ je $d(S^\bot)=4-d(S)=2$.

Ešte by sme radi našli jeho bázu. (Už vieme, že musí byť dvojprvková.) Pripomeňme si, aké prvky patria do $S^\bot$. Podľa definície sú to presne tie vektory, ktoré kolmé na všetky vektory z $S$. Teda $\vec\alpha=(a_1,a_2,a_3,a_4)$ patrí do $S^T$, ak platí
$$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4=0$$
pre každý vektor $\vec\beta=(b_1,b_2,b_3,b_4)\in S$.

Z prednášky však vieme aj to, že túto rovnosť stačí overovať pre vektory, ktoré generujú $S$. V našom prípade sú to $(1,0,-1,-2)$ a $(0,1,2,3)$. Hľadáme teda všetky štvorice $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ také, že
\begin{align*}
1a_1+0a_2-1a_3-2a_4&=0;\\
0a_1+1a_2+2a_3+3a_4&=0.
\end{align*}
To znamená, že chceme riešiť homogénnu sústavu lineárnych rovníc - už ju máme upravenú tak, že matica sústavy je v redukovanom trojuholníkovom tvare.

Takže riešenia vieme nájsť, že za parametre zvolíme premenné v stĺpcoch, kde nemáme vedúce jednotky (v našom prípade $a_3=s$, $a_4=t$) a ostatné dorátame: $a_1=s+2t$, $a_2=-2s-3t$. Vidíme, že riešenia sú tvaru $(s+2t,-2s-3t,s,t)=s(1,-2,1,0)+t(2,-3,0,1)$.
Bázu podpriestoru $S^\bot$ (čo je presne podpriestor riešení uvedenej sústavy) teda tvoria vektory $(1,-2,1,0)$ a $(2,-3,0,1)$.

Aby sme skontrolovali, či sme niekde nespravili chybu, môžeme odskúšať, či sú tieto vektory skutočne kolmé na vektory, ktoré sme mali pôvodne zadané.
Napríklad vyskúšame, že $\langle(1,-2,1,0),(1,2,3,4)\rangle=1-4+3=0$, podobne pre ostatné dvojice vektorov.