Skúsim pridať aj konkrétny príklad - toto je dôkaz z knihy Halbeisen:
Combinatorial Set Theory.
Pracuje sa tu s podmnožinami prirodzených čísel - tie tu chápeme ako konečné ordinály, čiže množinu prirodzených čísel priamo označujeme $\omega$.
Máme nejaký spočítateľný systém $\{X_n; n\in\omega\}$ nekonečných podmnožín množiny $\omega$. Navyše predpokladáme, že prienik ľubovoľného konečného podsystému je opäť nekonečná množina. (Tejto vlastnosti sa hovorí
strong finite intersection property = sfip.)
Cieľom je ukázať, že ak mám spočítateľne s nekonečných podmnožín prirodzených čísel, tak existuje nekonečný
pseudoprienik tohoto systému.
Pseudoprienik systému $\{X_n; n\in\omega\}$ je taká množina, že pre každé $n$ je množina $Y$ "takmer podmnožina" množiny $X_n$, čiže rozdiel $Y\setminus X_n$ je konečný. Toto sa označuje aj ako $Y\subseteq^* X_n$.
$$A\subseteq^* B \overset{def}\Leftrightarrow |A\setminus B|<\infty$$
Pseudoprienik evidentne nie je určený jednoznačne. (Ak $Y$ zmeníme o konečne veľa prvkov, neovplyvní to, či to je alebo nie je pseudoprienik.) Chceme však ukázať, že existuje nekonečná množina $Y$, ktorá je pseudoprienikom. (To je presne to, čo sa myslí tvrdením $\omega_1\le\mathfrak p$, len som ho tu prerozprával tak, aby sa dôkaz dal čítať a nebolo treba vedieť definíciu $\mathfrak p$.)
Uvedený dôkaz som zobral odtiaľto:
How to prove that $\omega_1 \leq \mathfrak p$. (Čiže je to naozaj dôkaz, na ktorý sa niekto pýtal a bol mu nejasný.)
Podobne ako tu, v množinovo-teoretických knihách či článkoch (a občas aj v niektorých príbuzných oblastiach) je pomerne bežné, že prirodzené čísla chápeme priamo ako konečné ordinály. A bežne sa využívajú vlastnosti, ktoré platia pre ordinály. Tu je úplny citát dôkazu.
Theorem 8.1. $\omega_1\le\mathfrak p$.
Proof. Let $\mathscr E=\{X_n\in[\omega]^\omega : n\in\omega\}$ be a countable family which has the sfip. We construct a pseudo-intersection of $\mathscr E$ as follows: Let $a_0:=\bigcap X_0$ and for positive $n$ let
$$a_n=\bigcap \left(\bigcap \{X_i; i\in n\}\setminus \{a_i; i\in n\}\right).$$
Further, let $Y=\{a_n : n\in\omega\}$; then for every $n\in\omega$, $Y\setminus \{a_i; i\in n\} \subseteq X_n$ which shows that $Y\subseteq^* X_n$, hence, $Y$ is a pseudointersection of $\mathscr E$.
Tento dôkaz môže byť na prvý pohľad nezrozumiteľný. Je však čitateľnejší, ak si uvedomíme, že s prirodzenými číslami sa tu pracuje ako s ordinálmi.
- Zápis "$a_0:=\bigcap X_0$" znamená, že sme vybrali minimum z množiny $X_0$. Chceme ďalej indukciou definovať $a_n$
- Keďže chápeme prirodzené čísla ako ordinály, tak $i\in n$ je len iný zápis pre $i<n$. Čiže $\{a_i; i\in n\}$ je množina doteraz definovaných prvkov. (V indukčnom kroku chceme nájsť prvok $a_n$.)
- Celý výraz $\bigcap \{X_i; i\in n\}\setminus \{a_i; i\in n\}$ hovorí iba to, že sme z prieniku množín $X_0,\ldots,X_{n-1}$ (ktorý je nekonečný) dali preč doteraz vybraté prvky.
- Potom sme prvok $a_n$ definovali ako $\min\left(\bigcap \{X_i; i\in n\}\setminus \{a_i; i\in n\}\right)$.
- Zostáva ukázať, že ak za $Y$ vezmeme množinu takto definovaných $a_n$, tak skutočne dostaneme nekonečný pseudoprienik.
Uvedený príklad je pomerne extrémny - keby sme písali $\min$ namiesto $\bigcap$ a $<$ namiesto $\in$ na správnych miestach, asi by bol čitateľnejší pre človeka, ktorý nie je na tieto veci zvyknutý.
Na druhej strane ale vôbec nie je až také zriedkavé, že ak sa niekde pracuje s ordinálmi, tak sa sa bežne namiesto nerovnosti použije $\in$ alebo namiesto supréma či infima $\bigcup$ resp. $\bigcap$. Čiže ak človek bude čítať nejaké veci z teórie množín či všeobecnej topológie, nemal by byť prekvapený ak na takéto veci narazí.
Hoci v tomto konkrétnom dôkaze to tak nebolo, tak niekedy takéto označenie môže pomôcť veci zapísať výrazne stručnejšie. (Napríklad ak chceme sformulovať princíp
definície transfinitnou indukciou, tak je určite jednoduchšie napísať $F|_\alpha$ ako zakaždým písať $F|_{\{\beta\in\mathrm{On}; \beta<\alpha\}}$.)
Spomeniem ešte, že uvedená veta súvisí s takouto oblasťou teórie množín: kardinálne charakteristiky kontinua (
cardinal characteristic of the continuum) resp. malé nespočítateľné kardinály (small uncountable cardinals).