Úloha 7.4. Zistite, či matice tvoria bázu vektorového priestoru všetkých matíc.
Posted: Mon Dec 11, 2017 10:33 pm
Zistite, či nasledujúce matice tvoria bázu vektorového priestoru všetkých matíc
typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb R$:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 4
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
5 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
1 & 2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
4 & 2
\end{pmatrix}
\]
Ako vyplýva zo skrípt, k týmto maticiam môžeme pristupovať ako ku vektorom v priestore $\mathbb R^{\mathbb R}$ a
zapísať ich ako vektory $(1, 2, 0, 4)$, $(2, 3, 5, 0)$, $(3, 0, 1, 2)$, $(0, 5, 4, 2)$.
Tieto vektory nám reprezentujú matice a môžeme s nimi ako takými pracovať, vidíme, že súčet matíc aj násobok nejakým $c$ vieme rovnako prevádzať a uskutočnovať na týchto vektoroch.
Ak si ich zapíšeme do matice a upravíme na redukovaný maticový tvar...
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \\
2 & 3 & 5 & 0 \\
3 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \\
0 & -1 & 5 & -8 \\
0 & -6 & 1 & -10 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 6 & -1 & 10 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 10 & -12 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 10 & -12 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 5 & 29 & -38 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
V tomto momente môžeme prestať a uvidíme, že tieto matice zjavne netvoria bázu... Báza totiž obsahuje 4 matice a tu je jeden z nich lineárnou kombináciou ostatných, inak, vektory v bázi musia byť aspon 4 a lineárne nezávisle, tieto sú zjavne lineárne závislé ak sa pozrieme lepšie vidíme, že prvé dve matice sa v súčte rovnajú druhým dvom...
typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb R$:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 4
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
5 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
1 & 2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
4 & 2
\end{pmatrix}
\]
Ako vyplýva zo skrípt, k týmto maticiam môžeme pristupovať ako ku vektorom v priestore $\mathbb R^{\mathbb R}$ a
zapísať ich ako vektory $(1, 2, 0, 4)$, $(2, 3, 5, 0)$, $(3, 0, 1, 2)$, $(0, 5, 4, 2)$.
Tieto vektory nám reprezentujú matice a môžeme s nimi ako takými pracovať, vidíme, že súčet matíc aj násobok nejakým $c$ vieme rovnako prevádzať a uskutočnovať na týchto vektoroch.
Ak si ich zapíšeme do matice a upravíme na redukovaný maticový tvar...
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \\
2 & 3 & 5 & 0 \\
3 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \\
0 & -1 & 5 & -8 \\
0 & -6 & 1 & -10 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 6 & -1 & 10 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 10 & -12 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 10 & -12 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 5 & 29 & -38 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
V tomto momente môžeme prestať a uvidíme, že tieto matice zjavne netvoria bázu... Báza totiž obsahuje 4 matice a tu je jeden z nich lineárnou kombináciou ostatných, inak, vektory v bázi musia byť aspon 4 a lineárne nezávisle, tieto sú zjavne lineárne závislé ak sa pozrieme lepšie vidíme, že prvé dve matice sa v súčte rovnajú druhým dvom...