Úloha 9.2. stopa matice

Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, davidwilsch, jaroslav.gurican

Post Reply
MartinPasen
Posts: 14
Joined: Thu Oct 05, 2017 6:26 am

Úloha 9.2. stopa matice

Post by MartinPasen »

Úloha 9.2. Pre štvorcovú maticu C typu n×n budeme výraz $$ Tr(C)= \sum_{k=1}^n C_{nn} $$ nazývať stopa matice C. (T.j. stopa matice je súčet prvkov, ktoré sú na diagonále.)
Ukážte, že ak A, B sú matice typu n×n nad poľom F, tak platia rovnosti Tr(A)=Tr(A)^T a Tr(AB)=Tr(BA).
  • najprv dokážeme prvú vlastnosť: $$ Tr(A)=Tr(A)^T $$
    • pre prvky v transponovanej matice platí : $$ C_{i,j}=C_{j,i}^T $$
    • ak i=j : $$ C_{i,i}=C_{i,i}^T $$
    • čiže prvky na diogonále transponovanej matici sú tie isté ako prvky pôvodnej matice, čiže ich súčet je rovnaký.
  • druhá vlastnosť : $$ Tr(AB)=Tr(BA) $$
    • vyjadríme si prvky na diagonále matice AB = C : $$ C_{i,i}=A_{i,1}*B_{1,i}+ A_{i,2}*B_{2,i} + ... A_{i,n}*B_{n,i}$$
      $$ C_{i,i}=\sum_{k=1}^n A_{i,k}*B_{k,i}$$
    • čiže Tr(AB) je :
      $$ Tr(AB)=\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n A_{i,k}*B_{k,i}$$
      $$ Tr(BA)=\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n B_{i,k}*A_{k,i}$$
    • z tohto je celkom jednoznačne vidno, že Tr(AB)=Tr(BA) ... (napríklad tieto dve vlastnosti to dokazujú 1. ak nejaký súčin patrí do súčtu Tr(AB), tak určite patrí aj do Tr(BA) (analogický to platí aj naopak), 2. ak sa nejaký súčin vyskytuje v Tr(AB), tak sa tam vyskytuje maximálne raz)
Martin Sleziak
Posts: 5553
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Re: Úloha 9.2. stopa matice

Post by Martin Sleziak »

Za riešenie si značím 1 bod. Tu je linka na staršie riešenie: viewtopic.php?t=831
Keby niekto chcel ten záver (že sú to rovnaké súčty) zapísať trochu formálnejšie, tak sa na to dá pozrieť ako na výmenu poradia sčitovania.
Post Reply