Hodnosť s parametrom

[Martin Sleziak]

Našlo viacero ľudí, ktorí úlohu o hodnosti s parametrom v písomke riešili o čosi komplikovanejšie, než sa dala vyriešiť. A tiež sa občas stalo, že ste vynechali niektoré prípady, na ktoré sa bolo treba pozrieť zvlášť Pridám sem teda aj ukážku možného riešenia aspoň pre jednu skupinu.

Samozrejme, môžete sem písať otázky, ak nejaké máte - alebo vlastné riešenia, ak sa vám z nejakého dôvodu zdajú zaujímavé. (Pripomeniem, že ne fóre môžete nájsť vyriešených viacero úloh takéhoto typu.)

Cieľom je vyrátať, aká je hodnosť matice v závislosti od parametra $c\in\mathbb R$.

$$A=\begin{pmatrix}2&c+1&0\\2&c+1&2+2c\\c&-c&-c\end{pmatrix}$$

Výsledok by mal byť $h(A)=3$ pre $c\notin\{0,-1,-3\}$ a $h(A)=2$ pre $c\in\{0,-1,-3\}$.

$\begin{pmatrix}
2&c+1&0\\
2&c+1&2+2c\\
c&-c&-c
\end{pmatrix}\overset{c\ne0}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2&c+1&0\\
2&c+1&2+2c\\
1&-1&-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2&c+1&0\\
0&0&2+2c\\
1&-1&-1
\end{pmatrix}\overset{c\ne-1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2&c+1&0\\
0&0&1\\
1&-1&-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2&c+1&0\\
0&0&1\\
1&-1&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0&c+3&0\\
0&0&1\\
1&-1&0
\end{pmatrix}\overset{c\ne-3}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&-1&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$

Zostáva už iba do matice $A$ dosadiť hodnoty $0$, $-1$, $-3$ a presvedčiť sa, že vtedy je hodnosť rovná $2$.

Spoiler:

$c=0$:
$\begin{pmatrix}
2&1&0\\
2&1&2\\
0&0&0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&0&2\\
0&0&0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{pmatrix}$

$c=-1$:
$\begin{pmatrix}
2&0&0\\
2&0&0\\
-1&1&1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&0&0\\
0&1&1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&1\\
0&0&0
\end{pmatrix}
$

$c=-3$:
$\begin{pmatrix}
2&-2&0\\
2&-2&-4\\
-3&3&3
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
1&-1&-2\\
-1&1&1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&0&-2\\
0&0&1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{pmatrix}\sim
$

[Martin Sleziak]

Vypočítajte hodnosť zadanej matice v~závislosti od parametra $c\in\mathbb R$:
$$A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & c-1 \\
c-2 & 1 & 0 \\
c-1 &-1 & 1-c
\end{pmatrix}$$

Vieme, že $h(A)=h(A^T)$. Po transponovaní tam dostaneme riadok, z ktorého sa dá vyňať $c-1$. Takže sa môže oplatiť začať tým (alebo urobiť zodpovedajúcu stĺpcovú úpravu):
$A^T=
\begin{pmatrix}
1 &c-2&c-1\\
2 & 1 &-1 \\
c-1& 0 &1-c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &c-2&c-1\\
2 & 1 &-1 \\
1 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 &c-2& c \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 &-2 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 &-1
\end{pmatrix}
$

V prvom kroku sme delili $(c-1)$. Úpravy sú teda platné iba pre $c\ne1$, pre takéto $c$ sme dostali že $h(A)=3$. Zostáva nám ešte pozrieť sa na prípad $c=1$, vtedy dostaneme $h(A)=2$.

Tá istá úloha sa však dá bez problémov vyriešiť aj bez transponovania resp. len riadkovými úpravami.

Spoiler:

$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & c-1 \\
c-2 & 1 & 0 \\
c-1 &-1 & 1-c
\end{pmatrix}\overset{(1)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2c-2& 2 & 0 \\
c-2 & 1 & 0 \\
c-1 &-1 & 1-c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c-1 & 1 & 0 \\
c-2 & 1 & 0 \\
c-1 &-1 & 1-c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
c-2 & 1 & 0 \\
c-1 &-1 & 1-c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 &-1 & 1-c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1-c
\end{pmatrix}
$
$(1)$: Sčítal som všetky tri riadky.

Alebo:
$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & c-1 \\
c-2 & 1 & 0 \\
c-1 &-1 & 1-c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & c-1 \\
c-2 & 1 & 0 \\
c & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & c-1 \\
c-2 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 2 & c-1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 & c-1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$

[Martin Sleziak]

Zistite, aká je hodnosť matice
$\begin{pmatrix}
2 & c & 0 \\
2 & c & 2c \\
c+1&-c-1&-c-1 \\
\end{pmatrix}$
v závislosti od parametra $c\in\mathbb R$.

$\begin{pmatrix}
2 & c & 0 \\
2 & c & 2c \\
c+1&-c-1&-c-1 \\
\end{pmatrix}\overset{c\ne-1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c & 0 \\
0 & 0 & 2c \\
1 &-1 &-1 \\
\end{pmatrix}\overset{c\ne0}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 &-1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 &-1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
2 & c & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 &c+2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\overset{c\ne-2}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

$h(A)=3$ pre $c\notin\{-2,-1,0\}$

Zostáva už len skontrolovať, že pre $c\in\{-2,-1,0\}$ dostaneme $h(A)=2$.

[Martin Sleziak]

Takýto príklad sa objavil na písomke (dám sem riešenie pre jednu skupinu).

Zistite, aká je hodnosť matice
$
A=\begin{pmatrix}
c+1 & c-1 & 0 & c-1 \\
2c+2 & c-3 &-c-1& -2 \\
1 & c & 1 & c
\end{pmatrix}
$ v závislosti od hodnoty parametra $c\in\mathbb R$.

Správny výsledok v tejto skupine bol $h(A)=2$ pre $c=1$; $h(A)=3$ v ostatných prípadoch.

Ako štandardné riešenie som očakával, že použijete $h(A)=h(A^T)$ a pre transponovanú maticu už je úloha jednoduchá. (Mám tam dva veľmi podobné riadky.) Alebo - čo je v podstate to isté - použitím stĺpcových úprav. (Pripomenime, že sme na cviku hovorili o tom, že $h(A)=h(A^T)$ a že pri výpočte hodnosti sa dajú používať aj stĺpcové úpravy. Aj som explicitne povedal, že hoci tento fakt na prednáške ešte dokázaný nebol, pri príkladoch na písomke ho môžete používať.)

Takýmto postupom teda nájdeme hodnosť veľmi rýchlo:
$A^T=
\begin{pmatrix}
c+1 &2c+2& 1 \\
c-1 & c-3& c \\
0 &-c-1& 1 \\
c-1 & -2 & c\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 &2c+2& 1 \\
0 & c-1& 0 \\
0 &-c-1& 1 \\
c-1 & -2 & c\\
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 &2c+2& 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 &-c-1& 1 \\
c-1 & -2 & c\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
c-1 & 0 & c\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
c-1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}$

Zostáva už len skontrolovať, že pre $c=1$ je hodnosť $2$; to to už rozpisovať nebudem.

Pretože veľa z vás sa rozhodlo postupovať riadkovými operáciami, napíšem tu aspoň jednu možnosť ako sa to dá počítať ak chceme používať iba riadkové operácie. Výpočet pri takomto postupe je náročnejší a dlhší, dám to do spoilera. (Samozrejme je veľa možností ako postupovať.)
Ešte teda k tomu že ste to rátali na písomke takto - na jednu stranu klobúk dole pred tými, čo to takto dorátali a podarilo sa im nepomýliť a dorátať to až k správnemu riešeniu. (Prinajmenšom takých čo neboli veľmi ďaleko od toho aby sa už dopracovali k výsledku bolo celkom dosť.) Na druhú stranu, ak veci vychádzajú komplikovane, možno sa oplatí zamyslieť nad tým či nie je aj nejaký jednoduchší postup alebo či sa nedá využiť niečo čo ste sa učili na to, aby ste si uľahčili život.

Spoiler:

Skúsim začať tým, že používam tretí riadok - tam mám na dvoch miestach číslo, nie výraz s parametrom:\\
$\begin{pmatrix}
c+1 & c-1 & 0 & c-1 \\
2c+2 & c-3 &-c-1& -2 \\
1 & c & 1 & c
\end{pmatrix}\overset{(1)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & c-1 & 0 & c-1 \\
3c+3 &c^2+2c-3 & 0 &c^2+c-2 \\
1 & c & 1 & c
\end{pmatrix}=$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & c-1 & 0 & c-1 \\
3(c+1) &(c+3)(c-1) & 0 & (c+2)(c-1) \\
1 & c & 1 & c
\end{pmatrix}\overset{(2)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & c-1 & 0 & c-1 \\
0 &c(c-1) & 0 & (c-1)^2 \\
1 & c & 1 & c
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & c-1 & 0 & c-1 \\
0 & c & 0 & c-1 \\
1 & c & 1 & c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & c & 0 & c-1 \\
1 & c & 1 & c
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
-c+1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{c}{c-1} & 0 & 1 \\
1 & c & 1 & c
\end{pmatrix}
$
Z uvedeného tvaru už vidno, že hodnosť je tri (ak sa pozrieme napríklad na tretí, štvrtý a druhý stĺpec).
Použité úpravy:
$(1)$ K druhému riadku som pripočítal $(c+1)$-násobok tretieho.
$(2)$ Od druhého riadku som odpočítal $3$-násobok prvého.


Skúsim ešte jedno riešenie iba pomocou riadkových úprav:
$\begin{pmatrix}
c+1 & c-1 & 0 & c-1 \\
2c+2 & c-3 &-c-1& -2 \\
1 & c & 1 & c
\end{pmatrix}\overset{(1)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & c-1 & 0 & c-1 \\
2c+2 & c-3 &-c-1& -2 \\
-c & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\overset{(2)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & c-1 & 0 & c-1 \\
2 & c-1 &-c+1& 0 \\
-c & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\overset{(3)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c-1 & 0 & c-1& c-1 \\
2 & c-1 &-c+1& 0 \\
-c & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & c-1 &-c+1& 0 \\
-c & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & c-1 &-c-1& -2 \\
0 & 1 & 1+c& 1+c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -c^2-c & -c^2-1 \\
0 & 1 & 1+c& 1+c
\end{pmatrix}
$
Bez ohľadu na hodnotu parametra $c$ je vo výslednej matici v druhom riadku aspoň jedno nenulové číslo, keďže $-c^2-1<-1$. Z toho už vidíme, že hodnosť je $3$.
Použité úpravy:
$(1)$ Od tretieho riadku som odpočítal prvý.
$(2)$ K druhému riadku som pripočítal dvakrát tretí.
$(3)$ Od prvého riadku som odpočítal druhý.

Ak z nejakého dôvodu trváte na tom, že chcete používať iba riadkové úpravy (napríklad nechcete používať veci čo zatiaľ neboli dokázané) a robiť s maticou $3\times 4$ sa zdá byť komplikované, môžeme skúsiť vynechať jeden stĺpec.
Treba si rozmyslieť, že ak vynechám stĺpec alebo riadok z matice $A$, tak pre maticu $B$ ktorú dostanem platí $h(B)\le h(A)$. (Rozmyslieť si prečo takéto niečo platí nechám na vás.)
V našom prípade ak vynechám prvý stĺpec, tak v prvom riadku hneď môžem deliť $(c-1)$.\\
$B=\begin{pmatrix}
c-1 & 0 & c-1 \\
c-3 &-c-1& -2 \\
c & 1 & c
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
c-3 &-c-1& -2 \\
c & 1 & c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
c-1 &-c-1& 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
c-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$