msleziak.com

Dokážte: Nech $f,g\colon Y\to Z$ a $h\colon X\to Y$ sú zobrazenia. Ak $h$ je surjekcia a $f\circ h=g\circ h$, tak $f=g$.

Ide o staršiu úlohu ale pokiaľ mi je známe nikto ju nevyriešil...

Takže, dokážeme, že negácia danej implikácie je nepravdivý výrok a tým pôvodné tvrdenie dokážeme:

Aby z predpokladov platilo $f \neq g$ je potrebné aby pre nejaké $a$, $b$ platilo, že: $f(x) \neq g(x)$
Avšak tieto $a$, $b$ sú z množiny $Y$ a teda na obidva prvky sa určite zobrazil aspoň jeden prvok $c$,
ak sa ich zobrazilo viac, čo je tiež možné, tak vyberieme ľubovolný prvok z nich a ozn. ho $c$.
Ak sa nezobrazil, nastane spor s tým, že $h$ je surjekcia.

Pre tento prvok ale platí, že pri $f\circ h$ sa zobrazil na niečo iné ako pri $g\circ h$ z čoho vyplýva spor $f\circ h \neq g\circ h$.

korman wrote: ↑Wed Jan 03, 2018 12:37 pm Takže, dokážeme, že negácia danej implikácie je nepravdivý výrok a tým pôvodné tvrdenie dokážeme:

Čiže ak správne rozumiem, plán je ukázať, že takéto niečo vedie k sporu: $h$ je surjekcia, $f\circ h=g\circ h$ a súčasne $f=g$.

korman wrote: ↑Wed Jan 03, 2018 12:37 pm Aby z predpokladov platilo $f \neq g$ je potrebné aby pre nejaké $a$, $b$ platilo, že: $f(x) \neq g(x)$
Avšak tieto $a$, $b$ sú z množiny $Y$ a teda na obidva prvky sa určite zobrazil aspoň jeden prvok $c$,
ak sa ich zobrazilo viac, čo je tiež možné, tak vyberieme ľubovolný prvok z nich a ozn. ho $c$.

Toto je napísané tak, že je trochu nejasné čo označuje, ktorá premenná. (Sú tam nejaké $a$, $b$, $x$ aj $c$ - chce sa povedať, že $f(c)=x$? Ak áno, tak načo sú tam vlastne $a$, $b$?)
Skúste sa trochu zamyslieť a prípadne pomeniť označenie tak, aby hovorilo to, čo naozaj chcete povedať.

1. áno

2. Spísal som dosť neprehľadne, čo som chcel povedať, tu je myslím zrozumiteľnejšia verzia:

Aby z predpokladov platilo $f \neq g$ je potrebné aby pre nejaké $a$ platilo, že: $f(a) \neq g(a)$
Avšak toto $a$ je z množiny $Y$ a teda na tento prvok sa určite zobrazil aspoň jeden prvok $c$ z množiny $X$.
Ak nie, nastane spor s tým, že $h$ je surjekcia. Ak sa ich zobrazilo viac, čo je tiež možné, tak vyberieme ľubovolný prvok z nich a ozn. ho $c$.

Pre tento prvok $c$ ale platí, že pri funkcii $f\circ h$ sa zobrazil na niečo iné ako pri $g\circ h$ z čoho vyplýva spor $f\circ h \neq g\circ h$.

Ok, značím si 1 bod.
Napíšem aj to, že by nebolo príliš ťažké trochu ten dôkaz upraviť na priamy dôkaz namiesto dôkazu sporom.