priklady na precvicenie 2.pisomka

[Jana Stolcova]

$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
Ako som slubila, posielam zase nejake priklady na precvicenie:

1. Zistite, či dané vektory tvoria bázu v ${\Z_5}^3$ respektíve v $\R^3$

a) $(1,2,3)$, $(2,3,4)$, $(0,3,1)$
b) $(1,0,0)$, $(0,1,2)$, $(2,1,3)$

2. Ak sa to dá doplňte tieto vektory: $(1,2,3,2)$, $(3,4,1,0)$ na bázu priestoru $\R^4$ respektíve ${\Z_5}^4$

3. Urč dimenziu priestoru $V=[\textbf{a,b,c}]$, kde
$\textbf{a}=(1,-1,2,5)$, $\textbf{b}=(4,3,-2,1)$, $\textbf{c}=(5,0,-4,3)$.

4. Zistite $d(U)$, $d(V )$, $d(U + V )$, $d(U ∩ V )$, bázu $U + V$ a bázu $U ∩ V$
a) v $\R^2$
pre $U = [(2, 5)]$, $V = [(1, 3)]$
b) v $\R^3$
pre $U = [(1, 2, 3),(−1, 2, 3)]$, $V = [(2, 1, 4),(−2, 1, 4)]$
c) v $R^4$
pre $U = [(1, 0, 1, 0),(1, 0, 0, 1)]$, $V = [(1, 1, 1, 0),(1, 0, 1, 1),(2,3,-1,0)]$

5. Nájdi redukovaný stupňovitý tvar a hodnosť matice
a)nad $\R$ \[ \left( \begin{array}{cccc}
2 & 5 & 4 &-2\\
-1 & 1 & 6&3 \\
5 & 0 & 4&2 \end{array} \right)\]
b)nad $\Z_5$ \[ \left( \begin{array}{cccc}
2 & 1 & 4 &0\\
1 & 3 & 2&3 \\
4 & 0 & 4&2 \end{array} \right)\]

6. Urč hodnosť matice v závislosti od parametra $a$ \[ \left( \begin{array}{cccc}
3 & 2 & a &2a\\
1 & -1 & 3&-a \\
2 & 3 & 0&1 \end{array} \right)\]

7. Zisti, či zobrazenie reprezentujúce preklopenie okolo osi $x$ v rovine je lineárne. Ak áno, nájdi jeho maticu.

8. Lineárne zobrazenie $ϕ: \R^3 → \R^2$
je pre $\textbf{x}= (x_1, x_2, x_3)∈ \R^3$
dané predpisom $ϕ(\textbf{x} ) =
(x_1 + 2x_2, 3x_1 + 7x_2 − x_3)$.
(a) Napíšte maticu lineárneho zobrazenia $ϕ$ vzhľadom na kanonické bázy.
(b) Napíšte maticu $ϕ$ vzhľadom na bázy $\alpha= ( e_1, e_2, \textbf{v})$ v $\R^3$, $\beta= ( \textbf{u}_1, \textbf{u}_2) $ v $\R^2$, kde
$ \textbf{v}= (−2, 1, 1)$, $\textbf{u}_1 = (1, 3)$, $ \textbf{u}_2 = (2, 7)$.

9. Nájdite maticu lineárneho zobrazenia $f : \R^4 → \R^4$
takého, že:
$f(1, 2, 3, 1) = (1, 3, 1, 0)$, $f(2, 1, 3, 0) = (0, 1, 3, 1)$, $f(3, 2, 1, 0) = (1, 0, 3, 0)$, $f(2, 2, 3, 4) =
(3, 1, 0, 4)$.