Aby som nemal veľa rôznych topicov na tú istú tému, tak príklad z písomky z výberového cvika pridám sem.
Zistite, či zadané body $A_0,A_1,A_2,A_3\in\mathbb R^3$ tvoria barycentrický súradnicový systém. Zistite, či aj body $B_0=A_0$, $B_1=2A_0-A_1$, $B_2=2A_0-A_2$, $B_3=2A_0-A_3$ tvoria barycentrický súradnicový systém.
$A_0=(1,2,2)$
$A_1=(2,1,2)$
$A_2=(1,-1,-1)$
$A_3=(1,3,0)$
Druhá skupina mala v podstate rovnaké zadanie - prvé dve súradnice boli vymenené.$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$
Odpoveď sa možno dala zbadať aj bez rátania.
Môžeme si všimnúť, že $A_0$, $A_2$, $A_3$ ležia v rovine $x_1=1$. Súčasne však neležia na jednej priamke, lebo iba dva z nich ($A_0$ a $A_2$) spĺňajú rovnicu $x_2=x_3$.
Z toho vidíme, že body $A_0$, $A_2$, $A_3$ určujú rovinu $x_1=1$. Súčasne vidíme, že bod $A_1$ v tejto rovine neleží.
Teda zadané body neležia v jednej rovine, a teda tvoria barycentrický súradnicový systém v $\mathbb R^3$.
Úloha sa dala rátať ktorýmkoľvek zo štandardných postupov, ktoré sme videli na cviku.
Jeden je pozrieť sa na vektory $\vekt{A_0A_1}=(1,-1,0)$, $\vekt{A_0A_2}=(0,-3,-3)$ , $\vekt{A_0A_3}=(0,1,-2)$ a overiť či tvoria bázu (či sú lineárne nezávislé).
Druhý je použiť maticu sústavy, pomocou ktorej hľadáme barycentrické súradnice bodu - ak je regulárna, povie nám to, že každý body sa dá
jednoznačne zapísať ako ich barycentrická kombinácia, a teda tvoria b.s.s.
Stredová symetria
Druhá časť by sa dala riešiť tak, že vyrátam priamo súradnice bodov $B_i$ a použijem opäť rovnaký postup.
Trochu sa pri nej zdržím aby bolo vidno, že sa to dá aj bez nového počítania. A súčasne využijem príležitosť na to, aby som zopakoval nejaké veci o barycentrických súradniciach.
Asi najrýchlejšie ako sa dá všimnúť si, že odpoveď v prvej a druhej časti musí byť rovnaká je zbadať to, že $\vekt{A_0A_i}=-\vekt{A_0B_i}$. Čiže vektory určené týmito bodmi sa len zmenili na opačné - čo nemôže ovplyvniť či sú lineárne závislé/nezávislé.
Rovnosť $B_i=2A_0-A_i$ nám vlastne hovorí, že $\vekt{A_0B_i}=2\vekt{A_0A_0}-\vekt{A_0A_i}=-\vekt{A_0A_i}$.
Tým súčasne vidíme, že body $B_i$ sú presne také body, že $A_0$ leží v strede medzi $A_i$ a $B_i$. To vidno aj z rovnosti
$$\frac12A_i+\frac12B_i=\frac12A_i+\frac12(2A_0-B_i)=A_0.$$
(Tu tak nenápadne využívame, že s barycentrickými kombináciami sa dá počítať uvedeným spôsobom - čo je pri "vašej" definícii úplne jasné, platí to aj pri tej všeobecnejšej definícii:
viewtopic.php?t=617 )
Afinný izomorfizmus
Ešte trochu spomeniem iný pohľad na vec - aj keď sa môže zdať že to zbytočne komplikujem, je vhodné si uvedomiť že to je špeciálny prípad niečoho, čo platí všeobecnejšie.
Vlastne už v predošlej časti sme si uvedomili, že body $A_i$ a $B_i$ sú v takom vzťahu, že sú stredovo symetrické vzhľadom na bod $A_0$. Stredová symetria je afinný izomorfizmus.
Trochu formálnejšie: Použili sme na všetky body zobrazenie $f(X)=Y=2A_0-X$.
Poďme skontrolovať, že takéto zobrazenie je naozaj afinný izomorfizmus. Poďme sa teda pozrieť na vektorovú zložku.
Všimnime si, že $f(A_0)=A_0$. Vďaka tomu máme $\varphi(\vekt{A_0X})=\vekt{A_0,f(X)}=\vekt{A_0Y}$.
Stačí si už všimnúť, že $f(X)=Y=A_0-\vekt{A_0X}$ a $\vekt{A_0Y}=-\vekt{A_0X}$.
Teda vektorová zložka afinného zobrazenia $f$ je $\varphi(\vec x)=-\vec x$, toto zobrazenie je evidentne lineárny izomorfizmus.
Nekontrolovali sme zatiaľ to, či ide o afinné zobrazenie. (Aj keď z geometrickej predstavy je to možno jasné.) Keď už poznáme $\varphi$, tak vlastne treba overiť $f(X_2)-f(X_1)=\varphi(X_2-X_1)$, čo skutočne platí: $(2A_0-X_1)-(2A_0-X_2)=-(X_2-X_1)$.
Dokopy sme skontrolovali, že $(f,\varphi)$ je afinné zobrazenie, $\varphi$ je lineárny izomorfizmus - spolu to znamená že $(f,\varphi)$ je
afinný izomorfizmus.
Nie je ťažké si uvedomiť, že ľubovoľný afinný izomorfizmus zobrazí barycentrický súradnicový systém na barycentrický súradnicový systém. (Stačí si napríklad rozmyslieť, čo robí vektorová zložka s vektormi medzi bodmi daného barycentrického súradnicového systému.)
Takže z tohoto vyplýva, že $B_0,\dots,B_3$ tvoria barycentrický súradnicový systém.
Súčasne sme si uvedomili, že by to isté fungovalo ak by sme transformovali body $A_0,\dots,A_3$ nejako inak - pokiaľ by naša transformácia predstavovala afinný izomorfizmus.