msleziak.com

Zadanie

Nájdite všeobecné vyjadrenie afinného podpriestoru v $\mathbb R^4$, ktorý je parametricky zadaný ako $\mathcal B=\{(1+s,1+s+t,2t,1+2s+t); s,t\in\mathbb R\}$, t.j.
\begin{align*}
x_1&=1+s\\
x_2&=1+s+t\\
x_3&=2t\\
x_4&=1+2s+t
\end{align*}
Akú má tento priestor dimenziu?

Ak sa chcete pozrieť na zadania z druhej písomky na výberových cvikách z minulých rokov - zvyčajne s podobným zameraním - nájdete ich na fóre:
viewtopic.php?t=862
viewtopic.php?t=627
viewtopic.php?t=626
viewtopic.php?t=622

Riešenie

Štandardný postup je najprv nájsť rovnice popisujú vektorovú zložku, ktorá je v tomto prípade
$V=[(1,1,0,2),(0,1,2,1)]=[(1,0,-2,1),(0,1,2,1)]$

Chcem teraz napísať homogénnu sústavu, ktorej riešením je tento popriestor. Koeficienty rovníc v tejto sústave nájdem riešením sústavy zadanej vektormi generujúcimi $V$. (Rozmyslite si prečo - na cvičení sme sa o tom rozprávali.)
T.j. riešime sústavu
$$\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 0
\end{array}
\right)$$
a vcelku rýchlo sa dá vidieť, že riešaniami sú vektory z podpriestoru $[(2,-2,1,0),(1,1,0,-1)]$.
Teda hľadaná homogénna sústava je
\begin{align*}
2x_1-2x_2+x_3&=0\\
x_1+x_2-x_4&=0
\end{align*}
Riešenia tejto sústavy sú presne vektory z priestoru $V$. (Môžeme niektorý vyskúšať dosadiť pre kontrolu.)

My chceme nájsť sústavu popisujúcu body z nášho priestoru. To je podobná sústava, iba pravé strany nemusia byť nulové. Pravé strany nájdeme tak, že dosadíme niektorý bod patriaci do podpriestoru, napríklad $(1,1,0,1)$.
Dostaneme
\begin{align*}
2x_1-2x_2+x_3&=0\\
x_1+x_2-x_4&=1
\end{align*}
t.j. $\mathcal B=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; 2x_1-2x_2+x_3=0, x_1+x_2-x_4=1\}$.

Iná možnosť ako dostať riešenie je z niektorých rovníc vyjadriť parametre a dosadiť do ostatných.

Chyby ktoré sa vyskytovali

Z niektorých riešení sa zdalo, že vám vlastne nie je úplne jasné čo vlastne robíte.
U viac ľudí tam bolo niekde správne riešenie, ale nenapísali ste, že toto je hľadané vyjadrenie; alebo ste počítali ďalej - nebolo jasné čo; alebo ste tam ešte pridávali ďalšie rovnice.

Odpíšem tu relevantné časti z jednej písomky

$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 &-2 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
$
...
\begin{align*}
x_1-2x_3+x_4&=0\\
x_2+2x_3-x_4&=0
\end{align*}
...
\begin{align*}
x_1-2x_3+x_4&=2\\
x_2+2x_3-x_4&=0
\end{align*}

T.j. vlastne ste zobrali sústavu kde sú koeficienty určené vektormi z priestoru $V$ (z vektorovej zložky zadaného podpriestoru).
Vcelku ľahko sa môžete presvedčiť, že to nie je správne riešenie.
Napríklad ak dosadím $s=-1$, $t=0$, tak vidím, že do $\mathcal B$ patrí bod $(0,0,0,-1)$.
Tento bod rovniciam, ktoré vám vyšli, nevyhovuje.