Barycentrická kombinácia

[Martin Sleziak]

Druhý príklad som skopíroval zo starších písomiek.
K ostatným príkladom z písomky sa budem snažiť niečo napísať.

Staršie zadania prvej písomky z LS by sa mali tiež dať nájsť tu na fóre, keď budem mať trochu času, tak k tomuto postu ešte vrátim a doplním aj konkrétne linky.

[Martin Sleziak]

Dané sú body
\begin{align*}
A&=(-1,4,7)\\
B&=(2,1,4)\\
C&=(2,0,2)\\
D&=(-2,2,2)\\
E&=(1,2,1)\\
\end{align*}
v priestore $\mathbb R^3$.
Ukážte, že priamky $\overleftrightarrow{AB}$ a $\overleftrightarrow{CD}$ sa pretínajú v jedinom bode $P$ a nájdite barycentrické súradnice tohoto bodu vzhľadom na barycentrickú súradnicovú sústavu $(A,B,C,E)$.
(To, že body $A$, $B$, $C$, $E$ skutočne tvoria barycentrický súradnicový systém v $\mathbb R^3$ overovať nemusíte, považujte to za súčasť zadania.)

[Martin Sleziak]

Riešenie.

Body na priamke $AB$ môžeme vyjadriť ako barycentrické kombinácie bodov $A$ a $B$ resp. parametricky pomocou bodu a a vektora $\overrightarrow{AB}$. To isté pre $CD$.
Dostaneme tak, že bod $P$ sa dá vyjadriť ako $(1-t)A+tB=(1-s)C+sD$ resp. $A+t\overrightarrow{AB}=C+\overrightarrow{CD}$.
Už stačí vyriešiť sústavu:
\begin{align*}
-1+3t&=2-4s\\
4-3t&=2s\\
7-3t&=2
\end{align*}
resp.
\begin{align*}
3t+4s&=3\\
3t+2s&=4\\
3t&=5
\end{align*}
a riešením tejto sústavy je $t=\frac53$, $s=-\frac12$.

Dosadením hodnôt pre $t$ a $s$ dostaneme bod ležiaci na oboch priamkach.
Prienik je bod
$$P=-\frac23A+\frac53B=\frac32C-\frac12D.$$
Skutočne
\begin{align*}
-\frac23(-1,4,7)+\frac53(2,1,4)&=(4,-1,2)\\
\frac32(2,0,2)-\frac12(-2,2,2)&=(4,-1,2)
\end{align*}

Všimnime si, že sme súčasne dostali aj vyjadrenie nášho bodu v zadanom barycentrickom súradnicovom systéme ako
$$P=-\frac23A+\frac53B+0C+0E,$$
teda jeho barycentrické súradnice sú $\underline{\underline{(-\frac23,\frac53,0,0)}}$

Vlastne sme teda súčasne našli aj bod $P$ aj jeho vyjadrenie v tvare barycentrickej kombinácie. (Dokonca sme to mohli robiť tak, že by sme našli iba barycentrické vyjadrenie - ale oplatí sa vyrátať aj súradnice bodu $P$, ako skúšku správnosti.)

Samozrejme, ak ste pre tento bod hľadali vyjadrenie v tvare barycentrickej kombinácie štandardným spôsobom, tak ste dospeli k rovnakému výsledku.
(Ale dúfal som, že si možno uvedomíte že takéto vyjadrenie už vlastne máme z prvej časti, a teda týmto výpočtom dostaneme len to isté, čo sme už predtým vyrátali inak.)

Spoiler:

$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 2 & 2 & 1 & 4 \\
4 & 1 & 0 & 2 &-1 \\
7 & 4 & 2 & 2 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 3 & 0 & 5 \\
0 &-3 &-4 &-2 &-5 \\
0 &-3 &-5 &-5 &-5
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 3 & 0 & 5 \\
0 & 0 &-1 &-2 & 0 \\
0 & 0 &-2 &-5 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 3 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac53 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 &-\frac23 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac53 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
$