Obraz prieniku - $f[A\cap B]=f[A]\cap f\left[B\right]$

[Martin Sleziak]

Dostal som mailom otázku k takejto úlohe - tá je kompletne vyriešená tu: viewtopic.php?t=94
Skúsim som odpísať na mail sem, hlavne preto, že na fóre sa pohodlnejšie zapisuje matematika ako keby som sa to snažil písať do mailu. (A teoreticky je to možné, že to pomôže aj niekomu z ostatných, alebo aj niekto iný bude vedieť pomôcť s vysvetlením.)

Najprv ale časť z mailu, kde boli nejaké otázky:

Po ujasnení si definícií D(f), H(f), vzor a obraz sa stále neviem pohnúť pri riešení príkladov typu:
$f \colon X\to Y$, $A$, $B$ sú podmnožiny X a mám dokázať

$$f[A\cap B] = f[A] \cap f\left[B\right]$$

Viem si to predstaviť, keď si to kreslím, ale neviem to zapisovať.

Uvedomujem si, že $f[A \cap B]$ je obraz množiny $A$ prienik $B$ v zobrazení $f$. Teda tento obraz vidím ako množinu nejakých $y$-ov z množiny $Y$ (ak to správne chápem). Teda existuje nejaký prvok $c$, ktorý patrí do prieniku množín $A$ a $B$ a keď na neho pustím zobrazenie z $X$ do $Y$, keďže $A$, $B$ sú podmožniny $X$, tak dostanem obraz prvku $c$, teda $f[c]$ a ten bude v podstate nejakým $y$-om patriacim do množiny $Y$.

Ak toto spravím so všetkými takýmito prvkami $c$, ktoré patria do $A \cap B$, tak dostanem obraz celej tejto množiny $f[A \cap B]$.

Ale ak by som tento proces robila samostatne pre množinu $A$ a dostala jej obraz $f[A]$ a pre množinu $B$ jej obraz $f\left[B\right]$, tak keďže majú prienik už množiny $A$ a $B$, tak aj ich obrazy budú mať prienik a v ňom budú práve také prvky $c$, ktoré patrili aj vo vzore do prieniku množín $A$ a $B$. Teda stačí urobiť $f[A]\cap f\left[B\right]$.

Neviem, či to právne chápem celé. A potom, aby tento predpoklad platil, potrebujeme, aby bolo zobrazenie injektívne. Toto mi trošku uniká, že prečo by muselo byť injektívne.

[Martin Sleziak]

Možno začnem s týmto:

Neviem, či to právne chápem celé. A potom, aby tento predpoklad platil, potrebujeme, aby bolo zobrazenie injektívne. Toto mi trošku uniká, že prečo by muselo byť injektívne.

Poďme si ukázať na príklade, že rovnosť $f[A\cap B]=f[A]\cap f\left[B\right]$ nemusí platiť ak $f$ nie je injektívne.

Asi najjednoduchší príklad neinjektívneho zobrazenie $f\colon X\to Y$ dostanem, ak si vezmem za $X$ dvojprvkovú množinu a $Y$ jednoprvkovú.
Napríklad $X=\{0,1\}$, $Y=\{0\}$.
Zobrazenie $f$ je také, že $f(0)=f(1)=0$.

Skúste si to nakresliť a prípadne nájsť príklad množín takých že neplatí rovnosť.

Alebo ak sa nepodarí pozrite nižšie:

Spoiler:

Čo dostanem ak zvolím $A=\{0\}$, $B=\{1\}$?

A detailnejšie:

Spoiler:

Máme $A\cap B=\emptyset$, čo znamená že aj $f[A\cap B]=\emptyset$.
Súčasne platí $f[A]=f\left[B\right]=\{0\}$, a teda $f[A]\cap f\left[B\right]=\{0\}$.
Vidíme, že v tomto prípade
\begin{align*}
\emptyset &\ne \{0\}\\
f[A\cap B] &\ne f[A]\cap f\left[B\right]
\end{align*}

Možno najrozumnejšie by bolo urobiť to, že ak si myslíte že máte nejaký argument ktorý vás presvedčí, že rovnosť platí pre ľubovoľné $f$ (nie iba injektívne), tak sa pozrieť na jednotlivé kroky a porovnať si ich s tým, čo dostanete pri tomto kontrapríklade.

[Martin Sleziak]

Skúsim ešte niečo napísať k tomu pokusu o zdôvodnenie rovnosti $f[A\cap B] = f[A]\cap f\left[B\right]$.

Uvedomujem si, že $f[A \cap B]$ je obraz množiny $A$ prienik $B$ v zobrazení $f$. Teda tento obraz vidím ako množinu nejakých $y$-ov z množiny $Y$ (ak to správne chápem). Teda existuje nejaký prvok $c$, ktorý patrí do prieniku množín $A$ a $B$ a keď na neho pustím zobrazenie z $X$ do $Y$, keďže $A$, $B$ sú podmožniny $X$, tak dostanem obraz prvku $c$, teda $f[c]$ a ten bude v podstate nejakým $y$-om patriacim do množiny $Y$.

Ak toto spravím so všetkými takýmito prvkami $c$, ktoré patria do $A \cap B$, tak dostanem obraz celej tejto množiny $f[A \cap B]$.

S touto prvou časťou v princípe nemám problém. Zdá sa, že tu vlastne len vysvetľujete čo je $f[A\cap B]$.
A skutočne sedí to, že $y\in f[A\cap B]$ platí práve vtedy keď
$$(\exists c\in A\cap B) f(c)=y.$$
Alebo trochu inak:
$$(\exists c) (c\in A\cap B \land f(c)=y).$$

Skôr sa mi zdá nejasné čo hovoríte ďalej:

Ale ak by som tento proces robila samostatne pre množinu $A$ a dostala jej obraz $f[A]$ a pre množinu $B$ jej obraz $f\left[B\right]$, tak keďže majú prienik už množiny $A$ a $B$, tak aj ich obrazy budú mať prienik a v ňom budú práve také prvky $c$, ktoré patrili aj vo vzore do prieniku množín $A$ a $B$. Teda stačí urobiť $f[A]\cap f\left[B\right]$.

Konkrétne najprv: "...keďže majú prienik už množiny $A$ a $B$, tak aj..." - nás vlastne nezaujíma či prienik $A\cap B$ je prázdny alebo neprázdny, ale to, čomu sa rovná jeho obraz.

Hlavne mi ale nie je jasné, čo sa myslí touto formuláciou: "a v ňom budú práve také prvky $c$, ktoré patrili aj vo vzore do prieniku množín $A$ a $B$."

Neviem či sa tu snažíte povedať niečo o takom $y$ ktoré patrí do $f[A]$ aj do $f[ B ]$.
Skúste si uvedomiť, že z definície obrazu vieme, že ak $y\in f[A] \cap f[ B ]$, tak
* existuje $a\in A$ také, že $f(a)=y$;
* existuje $b\in B$ také, že $f(b)=y$.
Zatiaľ však nemáme zaručené, že by $a$ aj $b$ musel byť ten istý prvok.

Neviem, možno toto trochu pomôže vyjasniť prečo to bez injektívnosti nefunguje.