msleziak.com

Mailom som dostal pokus o riešenie takejto úlohy s otázkou, či je riešenie správne.

$f\colon X\to Y$ je surjekcia práve vtedy, keď pre ľubovoľné $A,B\subseteq X$ platí $A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $f[A]\subseteq f[{B}]$.

Nebudem zatiaľ písať nejaké komentáre k tomu, čo bolo v tom riešení, ktoré som dostal.
Hlavný problém je, že sa snažíte dokázať tvrdenie, ktoré neplatí. (Nechám na vás nájdenie kontrapríkladu, ale spomeniem nejaké veci, ktoré by vám pri tom mohli pomôcť.)

Neviem, či niekde v poznámkach mám naozaj túto úlohu s takýmto chybným zadaním.
V domácej úlohe 7 je niečo podobné. (Detailne napíšem rozdiely nižšie.)
Ale v časti kde sa hovorí o obrazoch sa tvrdí, že $f$ je injektívne. (Je to skupina c. V skupine d je tvrdenie ktoré sa týka surjekcie, tam sú ale vzory.)

Konkrétne ak by sme zmenili tieto dve veci:
* namiesto "surjekcia" napísali "injekcia";
* na pravej strane namiesto implikácie napísali ekvivalenciu;
tak by sme dostali takéto tvrdenie, ktoré už je pravdivé. (A je to presne d.ú. 7c.)

$f\colon X\to Y$ je injekcia práve vtedy, keď pre ľubovoľné $A,B\subseteq X$ platí $A\subseteq B$ $\Leftrightarrow$ $f[A]\subseteq f[{B}]$.

Táto úloha je pomerne detailne vyriešená tu: viewtopic.php?t=1067
Keď už viete, že to platí iba pre injektívne zobrazenia, tak by sa asi mal dať vymyslieť príklad takého zobrazenia, kde to pôvodné tvrdenie (so surjektívnosťou) neplatí. (Prípadne by pri vymýšľaní kontrapríkladu mohlo pomôcť pozrieť sa na dôkaz.)

Keď už som spomenul aj d.ú. 7d, tak tam je podobné tvrdenie, kde sú surjekcie. (Ale používajú sa tu vzory, nie obrazy.)

$f\colon X\to Y$ je injekcia práve vtedy, keď pre ľubovoľné $C,D\subseteq Y$ platí $C\subseteq D$ $\Leftrightarrow$ $f^{-1}[C]\subseteq f^{-1}[D]$.