Kardinalita množiny

[Martin Sleziak]

Vypočítajte kardinalitu množiny $(\mathbb R\times\mathbb R)^{\mathbb N\times\mathbb N}$.

Ak vieme, že $|\mathbb R|=\mathfrak c$ a $|\mathbb N|=\aleph_0$, tak vlastne chceme vypočítať kardinál $(\mathfrak c\cdot\mathfrak c)^{\aleph_0\cdot\aleph_0}$.

Máme $\mathfrak c\cdot\mathfrak c=\mathfrak c$, pretože
$$\mathfrak c\cdot \mathfrak c =2^{\aleph_0} \cdot 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c.$$
Po využití tejto rovnosti a rovnosti $\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0$ dostaneme
$$(\mathfrak c\cdot\mathfrak c)^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=\mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c.$$

[Martin Sleziak]

Odpíšem tu nejaké rovnosti ktoré sme dokázali inde: viewtopic.php?t=1263 (A môžu sa nám hodiť.)

\begin{gather*}
\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c\tag{1}\\
\aleph_0^{\aleph_0} = \mathfrak c \tag{2}\\
\mathfrak c^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}\tag{3}\\
(\aleph_0)^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}\tag{4}
\end{gather*}

Vypočítajte kardinalitu množiny $(\mathbb R^{\mathbb R})\times(\mathbb N^{\mathbb N})$.

$|\mathbb R^{\mathbb R}|=\mathfrak c^{\mathfrak c}\overset{(3)}=2^{\mathfrak c}$

$|\mathbb N^{\mathbb N}|=\aleph_0^{\aleph_0} \overset{(2)}= \mathfrak c$

Kardinalita zadanej množiny je teda
$$2^{\mathfrak c}\cdot \mathfrak c = 2^{\mathfrak c},$$
čo môžeme overiť napríklad ako
$$2^{\mathfrak c} \le 2^{\mathfrak c}\cdot \mathfrak c \le 2^{\mathfrak c}\cdot 2^{\mathfrak c} \le 2^{\mathfrak c+\mathfrak c} \overset{(*)}= 2^{\mathfrak c}$$
pričom rovnosť $(*)$ vyplýva z
$$\mathfrak c+\mathfrak c = 2^{\aleph_0}+2^{\aleph_0}=2\cdot2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0+1}=2^{\aleph_0}=\mathfrak c.$$

Vypočítajte kardinalitu množiny $(\mathbb R^{\mathbb R})\times(\mathbb N^{\mathbb R})$.

$|\mathbb R^{\mathbb R}|=\mathfrak c^{\mathfrak c}\overset{(3)}=2^{\mathfrak c}$

$|\mathbb N^{\mathbb R}|=(\aleph_0)^{\mathfrak c}\overset{(4)}=2^{\mathfrak c}$

Teda kardinalita našej množiny je
$$2^\mathfrak c\cdot2^\mathfrak c=2^{\mathfrak c+\mathfrak c}\overset{(*)}= 2^{\mathfrak c}$$
pričom rovnosť $(*)$ (resp. rovnosť $\mathfrak c+\mathfrak c=\mathfrak c$) sme zdôvodnili v predošlej časti.

[Martin Sleziak]

Chyby ktoré sa vyskytovali

V niektorých písomkách som našiel tvrdenia ako

\begin{align*}
\aleph_0^{\aleph_0}&=\aleph_0\\
\mathfrak c^{\mathfrak c}&=\mathfrak c
\end{align*}

Z toho, čo sme sa učili, nie je ťažké prísť na to že pre akýkoľvek nekonečný kardinál $a$ platí
$$a^a\ne a.$$
Máme totiž
$$a^a \ge 2^a > a,$$
kde posledná nerovnosť vyplýva z Cantorovej vety.

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\mfr}[1]{\mathfrak{#1}}\newcommand{\alnul}{\aleph_0}$
Skupina D: Vypočítajte kardinalitu množiny $\mathbb R^{\mathbb R\times\mathbb N}$.

Skupina E: Vypočítajte kardinalitu množiny $(\mathbb R\times\mathbb N)^{\mathbb R}$.

Vlastne to znamená, že v skupine D chceme vyrátať čomu sa rovná $\mfr c^{\mfr c\cdot\alnul}$ a v skupine E to isté pre kardinál $(\mfr c\cdot\alnul)^{\mfr c}$.

Najprv si pripravme dva vzťahy, ktoré nám pomôžu.
$$\mfr c\cdot \mfr c=\mfr c \cdot \alnul= \mfr c\tag{1}$$
Zdôvodnenie rovností $(1)$: $\mfr c \le \mfr c\cdot\alnul \le \mfr c\cdot \mfr c = 2^{\alnul}\cdot 2^{\alnul} = 2^{\alnul+\alnul}=2^{\alnul}=\mfr c$.
$$\mfr c^{\mfr c}=2^{\mfr c}\tag{2}$$
Zdôvodnenie rovnosti $(2)$: $2^{\mfr c}\le \mfr c^{\mfr c}\le 2^{\mfr c\cdot\mfr c}\overset{(1)}=2^{\mfr c}$.

Pre kardinál v skupine D teraz dostaneme:
$$|\mathbb R^{\mathbb R\times\mathbb N}| = \mfr c^{\mfr c\cdot\alnul} \overset{(1)}= \mfr c^{\mfr c} \overset{(2)}=2^{\mfr c}.$$
Vieme vyrátať aj kardinalitu množiny z druhej skupiny:
$$|(\mathbb R\times\mathbb N)^{\mathbb R}|=(\mfr c\cdot\alnul)^{\mfr c}\overset{(1)}= \mfr c^{\mfr c} \overset{(2)}=2^{\mfr c}.$$