Kardinalita množiny
Posted: Mon Apr 23, 2018 9:14 pm
Ak vieme, že $|\mathbb R|=\mathfrak c$ a $|\mathbb N|=\aleph_0$, tak vlastne chceme vypočítať kardinál $(\mathfrak c\cdot\mathfrak c)^{\aleph_0\cdot\aleph_0}$.Vypočítajte kardinalitu množiny $(\mathbb R\times\mathbb R)^{\mathbb N\times\mathbb N}$.
Máme $\mathfrak c\cdot\mathfrak c=\mathfrak c$, pretože
$$\mathfrak c\cdot \mathfrak c =2^{\aleph_0} \cdot 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c.$$
Po využití tejto rovnosti a rovnosti $\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0$ dostaneme
$$(\mathfrak c\cdot\mathfrak c)^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=\mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c.$$