Aj na tohtoročnej písomke sa objavil tento typ úlohy.
V zadaní bola symetrická matica. Pripomeniem, že pre symetrickú maticu vieme z prednášky, že:
- určite je podobná s diagonálnou maticou;
- vlastné vektory k rôznym vlastným hodnotám sú na seba kolmé;
- vedeli by sme nájsť aj ortogonálnu maticu $P$ s týmito vlastnosťami.
Môžete si všimnúť, že pre zadané matice sú vlastné čísla rôzne - a že vlastné vektory sú skutočne navzájom kolmé. (Z čoho automaticky vyplýva, že sú lineárne nezávislé. Aj ak by sme sa neodvovali na ortogonálnosť, tak vieme, že vlastné vektory k rôznym vlastným číslam sú lineárne nezávislé.)
Zadania v oboch skupinách boli veľmi podobné, detailnejšie budem písať iba riešenie jednej z nich.
Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory matice $A$. Zistite, či je táto matica podobná s diagonálnou. Ak áno, tak nájdite regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$, pre ktoré platí $PAP^{-1}=D$.
$$A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$
Platí $\chi_A(x)=(x+1)(x-1)(x+4)$, teda vlastné čísla sú $-1$, $1$ a $4$.
(Pripomeniem čiastočnú skúšku správnosti, ktorá sa dá urobiť na tomto mieste: súčet vlastných čísel, ak ich počítame vrátane násobnosti, by sa mal rovnať stope matice.)
Vlastné vektory k $-1$ sú nenulové násobky vektora $(1,-1,0)$.
Vlastné vektory k $1$ sú nenulové násobky vektora $(1,1,-2)$.
Vlastné vektory k $4$ sú nenulové násobky vektora $(1,1,1)$.
Opäť pripomeniem, že vieme ľahko skontrolovať či vektor ktorý nám vyšiel je skutočne vlastný vektor s danej vlastnej hodnote.
Ak by sme pre niektoré vlastné číslo nedostali žiadnu vlastnú hodnotu, tak vieme, že treba hľadať niekde chybu.
Hľadanú maticu $P$ dostaneme tak, že do jednotlivých riadkov poukladáme vlastné vektory. (V rovnakom poradí v akom sme dali vlastné hodnoty do diagonálnej matice $D$.)
Teda platí $PAP^{-1}=D$ pre
$$P=
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
1 & 1 &-2 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix} \qquad
D=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{pmatrix}
$$
Platnosť rovnosti $PAP^{-1}=D$ sa dá skontrolovať výpočtom. Pridám linku
na WolfraAlpha.
A tiež pripomeniem, že ak sme skontrolovali že nájdené vektory sú skutočne vlastnými vektormi, tak sme vlastne overili že $PA=DP$; ak vieme že $P$ je regulárna, tak je to ekvivalentná podmienka.
Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory matice $A$. Zistite, či je táto matica podobná s diagonálnou. Ak áno, tak nájdite regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$, pre ktoré platí $PAP^{-1}=D$.
$$A=
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
1 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$
$\chi_A(x)=(x-2)(x+1)(x+2)$
Vlastné vektory k $2$ sú nenulové násobky $(1,-1,0)$.
Vlastné vektory k $1$ sú nenulové násobky $(1,1,1)$.
Vlastné vektory k $-2$ sú nenulové násobky $(1,1,-2)$.
Rovnosť $PAP^{-1}$ platí pre $$P=
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 &-2 \\
\end{pmatrix}
\qquad
D=
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 &-2 \\
\end{pmatrix}
$$
Chyby ktoré sa vyskytovali v riešeniach
Niekto z vás keď už našiel vlastné čísla a maticu $D$, tak maticu $P$ hľadal tak, že riešil sústavu deviatich rovníc s neznámymi $p_{11}, p_{12}, \dots, p_{33}$. To je postup ktorý je síce správny, ale jednoduchšie je vyrátať vlastné vektory. (Keď sa poriadnejšie pozriete na sústavu ktorú ste dostali, tak by sa dala rozdeliť na tri menšie sústavy - každá s tromi neznámymi - ktoré sú presne tie isté ako sústavy ktorými nájdete vlastné vektory. Čiže je to v podstate ten istý postup; ale ak rátame sústavu pre každý riadok resp. každý vlastný vektor zvlášť, tak je to asi zapísané o čosi prehľadnejšie a aj sa to ľahšie počíta.)
Takisto v jednej písomke ste hľadali vlastné vektory tak, že ste si označili súradnice vektora $(x_1,x_2,x_3)$ a napísali sústavu, ktorú dostanete z $(x_1,x_2,x_3)A=\lambda(x_1,x_2,x_3)$. Toto je tiež úplne správne - ale keďže z vecí ktoré sme sa učili už vieme, že nám vyjde presne homogénna sústava s maticou $(A-\lambda I)^T$, tak vlastne prácu so zostavovaním sústavy ste si mohli ušetriť a rovno napísať takúto maticu a riešiť príslušnú homogénnu sústavu.
Ak ste sa nejako dostali k vlastným číslam a potom pri riešení sústavy $(A-\lambda I)^T$ vám vyšlo, že k $\lambda$ neexistuje vlastný vektor, tak niekde musí byť chyba. (Buď ste sa pomýlili pri riešení sústavy. Alebo ak je sústava vyriešená správne a matica $A-\lambda I$ je skutočne regulárna, tak to znamená že $\lambda$ nie je vlastné číslo a niekde vo výpočte vlastných čísel )
Matica $D$ musí mať rovnaké rozmery ako matica $A$. Matica $P$ musí byť štvorcová (inak nemá ani zmysel hovoriť o inverznej matici $P^{-1}$.)
Transponovanie nemení hodnosť matice - takže ak ma zaujíma iba hodnosť nejakej matice, môžem ju pri výpočte kedykoľvek transponovať alebo aj kombinovať riadkové a stĺpcové úpravy. To však už nie je pravda pri hľadaní množiny riešení homogénnej sústavy - ak maticu sústavy transponujem, tak môžem dostať sústavu, ktorá má celkom inú množinu riešení.