msleziak.com

Skoro vždy sa koncom semestra hovorí o tom, čo konkrétne bude na skúške, ktoré veci zostali na samostatné doštudovanie a podobne.

Azda nezaškodí priebežne počas semestra značiť, čo sú veci ktoré som nerobil na prednáške - je vyššia šanca, že na konci semestra sa na nič nezabudne. (Tento semester som začal pomerne neskoro, snáď v budúcnosti už budem takéto niečo dodržiavať.)

LS 2017/18

Preskočil som časť 2.6 týkajúcu sa Cayleyho vety. (Tá je aj v poznámkach označená hviezdičkou - ako nepovinná.)

Neukazoval som tvrdenie, že maximálny ideál je prvoideál. (Dôsledok 4.2.21. Ľahko to ale vyplýva z viet pred ním.)

Nedokazoval som ani to, že v OHI je nenulový prvoideál automaticky maximálny. (Tvrdenie 4.4.19.)

To, že som nerobil viaceré veci o okruhoch polynómov na prednáške ale iba na cviku, je zámer. (Čiže je úplne v poriadku, že sú tam časti, ktoré neboli na prednáške.) Z nich som sa ale iba veľmi máličko venoval rozdielu medzi polynomickými funkciami a polynómami a vôbec som nehovoril o iných možnostiach ako sa dá definovať okruh polynómov (časti 4.3.3 a 4.3.4). Nehovoril som ani o algebraicky uzavretom nadpoli (časť 4.5.3) a o formálnej derivácii a Taylorovom rozvoji (časť 4.5.6).

Preskočil som časť 5.1 (podielové pole) a z časti 5.2 (charakteristika poľa) som robil iba tri výsledky (tvrdenie 5.2.6, tvrdenie 5.2.8 a dôsledok 5.2.9). Dôležitý výsledok z tejto časti, ktorý som vynechal je tvrdenie 5.2.7; t.j. každá pole obsahuje podpole izomorfné s $\mathbb Q$ alebo podpole izomorfné s $\mathbb Z_p$.

Neprednášal som vetu 5.3.13. (Tú by sme potrebovali pri dôkaze jednoznačnosti konečného poľa s daným počtom prvkov - k tomu sme sa aj tak nedostali.)

K časti 5.5 (rozkladové polia) som sa nestihol dostať vôbec. Odporúčam aj tak pozrieť si ju. Jednak je táto téma spomenutá v štátnicových otázkach. (Aj keď na štátniciach sa nejako veľmi neskúšajú dôkazy - prinajmenšom určite nie také čo sú veľmi náročné. Takže tam vám asi stačí vedieť čo zhruba sú rozkladové polia a niečo o existencie a jednoznačnosti $p^n$-prvkových polí. Čiže ak si ju prečítate aspoň tak, že budete rozumieť uvedeným definíciám a tomu, čo hovoria výsledky v tejto kapitole, tak čo sa týka štátnic asi viete dosť.) Obzvlášť sa na tieto veci oplatí pozrieť ľuďom, ktorí sa plánujú trochu venovať predmetom súvisiacim s kódovaním a kryptológiou, keďže tam sa konečné polia vyskytujú dosť často.

LS 2019/20

Tento semester vyzeral inak ako obvykle.
To čo sa prebralo kým ešte výuka bežala prezenčne je tu: viewtopic.php?t=1489
Tu sa dajú nájsť veci čo boli vo videách s prednáškami: viewtopic.php?t=1505

Na skúšku od vás nebudem chcieť časti, ktoré sú označené ako hviezdičkové. (Cayleyho veta, doplnkové veci na konci kapitoly o faktorizácii grúp).
Takisto nebudem skúšať ani podielové pole. (To som nezvykol prednášať ani po minulé roky.)

Rozšírenia polí.
Je mi jasné, že toto je asi najťažšia téma z vecí, čo sa tu prebrali.
Berúc do úvahy, že tento semester prebiehala výuka dištančne teda ste to mali ťažšie, sa dohodneme takto: Žiadne príklady týkajúce sa vecí z poslednej kapitoly nebudem dávať do písomky. Stále sa otázky z tejto kapitoly môžu vyskytnúť v teórii.

Ak si nestihnete túto tému pozrieť na skúšku, tak stále odporúčam sa k nej vrátiť niekedy neskôr. Jednak sú rozšírenia polí medzi štátnicovými otázkami. Okrem toho sa vám môžu hodiť v ďalšom štúdiu - aspoň niektorým z vás, v závislosti od toho, čo si ďalej vyberiete. (Teóriu urobím ako multiple choice test, kde budú otázky z celého semestra - teda otázky z tejto kapitoly budú tvoriť len zodpovedajúcu časť. Aj ak by ste z tejto kapitoly vedeli iba základy alebo ju celkom preskočili, tak budete mať šancu získať rozumnú známku - ak budete vedieť veci z ostatných častí.)

LS 2021/22

Linka na topic s prednáškami: viewtopic.php?t=1765

Preskočil som časť 2.6 týkajúcu sa Cayleyho vety. (Tá je aj v poznámkach označená hviezdičkou - ako nepovinná.)

Takisto som nerobil ani hviezdičkou označené časti týkajúce sa faktorových grúp (druhá a tretia veta o izomorfizme, komutátor, faktorové vektorové priestory, kongruencie.)

Veci z podkapitoly 4.5 (Okruhy polynómov II) neboli na prednáške - niečo z toho sme stihli na cviku; niečo z toho chcem, aby ste si na skúšku pozreli samostatne. (Detailne rozpíšem v topicu týkajúcom sa skúšky.)

Nerobili sme časť 5.1 (o podielovom poli).

Pre pole nekonečnej charakteristiky som nedokazoval, že obsahuje podpole izomorfné s $\mathbb Q$; ukázali sme si iba to, že obsahuje $\mathbb Z$. (Tvrdenie 5.2.7)

Nedokazoval som, že v poli charakteristiky $p$ platí $(a+b)^p=a^p+b^p$.

Časť 5.3 o rozšíreniach polí - tu som nerobil vetu 5.3.11 (ktorá hovorí, že $F(u)\cong F[x]/(p(x))$ a vetu 5.3.11 (o nahradení poľa $F$ nejakým izomorfným poľom). Časti predtým som prešiel pomerne stručne a bez dôkazov.

Z časti 5.4 (o algebraických rozšíreniach) som povedal len pár vecí, väčšinu z nich bez dôkazu.