msleziak.com

Tieto úlohy boli podľa mňa vcelku ľahké - stačilo používať definíciu vzoru, prieniku, či zjednotenia..
Pre istotu ju pripomeniem:
Ak $f\colon X\to Y$ a $M\subseteq Y$, tak pre $x\in X$ platí:
$$x\in f^{-1}[M] \Leftrightarrow f(x)\in M$$

Nech $f\colon X\to Y$ je ľubovoľné zobrazenie a $C,D\subseteq Y$. Dokážte, že
$$f^{-1}[C\cup D]=f^{-1}[C]\cup f^{-1}[D].$$

\begin{align*}
x\in f^{-1}[C\cup D]
&\Leftrightarrow f(x) \in C\cup D \\
&\Leftrightarrow (f(x) \in C) \lor (f(x)\in D) \\
&\Leftrightarrow (x\in f^{-1}[C]) \lor (x\in f^{-1}[D]) \\
&\Leftrightarrow x\in f^{-1}[C]\cup f^{-1}[D]
\end{align*}

Nech $f\colon X\to Y$ je ľubovoľné zobrazenie a $C,D\subseteq Y$. Dokážte, že
$$f^{-1}[C\cap D]=f^{-1}[C]\cap f^{-1}[D].$$

\begin{align*}
x\in f^{-1}[C\cap D]
&\Leftrightarrow f(x) \in C\cap D \\
&\Leftrightarrow (f(x) \in C) \land (f(x)\in D) \\
&\Leftrightarrow (x\in f^{-1}[C]) \land (x\in f^{-1}[D]) \\
&\Leftrightarrow x\in f^{-1}[C]\cap f^{-1}[D]
\end{align*}

Podobné tvrdenia platia aj pre prienik/zjednotenie ľubovoľného systému (nie iba konečného):
\begin{align*}
f^{-1}[\bigcup_{i\in I} C_i] &= \bigcup_{i\in I} f^{-1}[C_i]\\
f^{-1}[\bigcap_{i\in I} C_i] &= \bigcap_{i\in I} f^{-1}[C_i]
\end{align*}
Jedna z týchto dvoch identít bola tento semester aj priamo ako jedna z domácich úloh.