msleziak.com

Ukážte, že pre ľubovoľné množiny $A$, $B$ platí $$A\subseteq B\Leftrightarrow B=A\cup B.$$

Ukážte, že pre ľubovoľné množiny $A$, $B$ platí $$A\subseteq B\Leftrightarrow A=A\cap B.$$

Dôkaz, že tieto podmienky sú ekvivalentné sa dá nájsť aj ako tvrdenie v texte (aj s dôkazom).

Skúsim sem niečo napísať napríklad k druhej skupine (prienik).

Riešenie. Budeme dokazovať každú z implikácií zvlášť.

$\boxed{\Rightarrow}$ Predpokladajme, že $A\subseteq B$. Chceme ukázať, že $A=A\cap B$.

Ak $x\in A\cap B$, tak priamo z definície prieniku máme, že aj $x\in A$.

Obrátene, predpokladajme že $x\in A$. Pretože $A\subseteq B$, platí potom aj $x\in B$. Čiže vidíme, že
$$(x\in A)\land (x\in B)$$
čo znamená, že $x\in A\cap B$.

Ukázali sme, že $$(x\in A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A),$$
čo je presne rovnosť $$A=A\cap B.$$

$\boxed{\Leftarrow}$ Predpokladajme, že $A=A\cap B$.

Nech $x\in A$. Na základe uvedenej rovnosti to znamená, že $x\in A\cap B$. Priamo z definície prieniku vidíme, že potom aj $x\in B$.

Ukázali sme, že z $x\in A$ vyplýva $x\in B$, čo je presne inklúzia
$$A\subseteq B.$$

Poznámka: Implikáciu $\boxed{\Leftarrow}$ sme mohli ukázať aj tak, že najprv dokážeme platnosť inklúzie $A\cap B\subseteq A$ pre ľubovoľné množiny $A$, $B$. (Čo je zhruba ten istý dôkaz zapísaný inak. Ale aspoň sme si rozmysleli ako samostatné tvrdenie tento fakt - ktorý môže byť občas užitočný.)

Chyby ktoré sa vyskytovali.

Niektorí ste sa snažili dokázať tvrdenie cez Vennove diagramy. To nie celkom funguje, keďže to nie je dôkaz rovnosti s množinami ale nejakej ekvivalencie.

Viacerí ste (správne) prepísali tvrdenie, ktoré chceme dokazovať takto:
\begin{align*}
A\subseteq B &\Leftrightarrow A=A\cap B\\
(\forall x)((x\in A) \Rightarrow (x\in B)) &\Leftrightarrow (\forall x)(x\in A \Rightarrow [(x\in A)\land (x\in B)])
\end{align*}
(Občas v odovzdaných riešeniach boli tie kvantifikátory boli poprehadzované trochu inak.)

Potom ste overili, že $(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (p\Rightarrow p\land q)$.

Toto je pomerne blízko správnemu riešeniu. Len aby bol trochu jasnejšeí rozdiel, napíšem pod seba najprv výrok, ktorý ste takto overili vy a výrok ktorý v skutočnosti chceme dokázať.
\begin{gather*}
(\forall x)[((x\in A) \Rightarrow (x\in B)) \Leftrightarrow (x\in A \Rightarrow [(x\in A)\land (x\in B)])]\\
(\forall x)((x\in A) \Rightarrow (x\in B)) \Leftrightarrow (\forall x)(x\in A \Rightarrow [(x\in A)\land (x\in B)])
\end{gather*}
Inak povedané pozeráme sa na výroky tvaru
\begin{gather*}
(\forall x)(P(x)\Leftrightarrow Q(x))\\
(\forall x)P(x) \Leftrightarrow (\forall x)Q(x)
\end{gather*}
Treba si ešte uvedomiť, že z prvého výroku vyplýva druhý. (Inak povedané, z toho čo ste dokázali vyplynie aj tvrdenie, ktoré v skutočnosti máme dokázať.)
Poznamenám tiež, že implikácia opačným smerom ne platí. (Z dolného výroku vo všeobecnosti nevyplýva horný. Asi by nemalo byť ťažké vymyslieť nejaký konkrétny príklad tvrdení $P(x)$ a $Q(x)$, ktoré poslúžia ako kontrapríklad na implikáciu týmto smerom.)

Niečo podobné sme už kedysi spomínali v súvislosti s inou úlohou: viewtopic.php?t=62