Polynóm $f(x)=x^4+4x^3+6x^2+4x+5$
Riešenie 1. Takmer na prvý pohľad človek zbadá, že zadaný polynóm sa nápadne podobá na $(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.
Teda vidíme, že
$$f(x)=(x+1)^4+4.$$
Ak teda vieme rozložiť $g(t)=t^4+4$, tak nám stačí dosadiť $t=x+1$.
V
inom poste sme videli, že
$$t^4+4=(t^2-2t+2)(t^2+2t+2)=(t-1-i)(t-1+i)(t+1-i)(t+1+i).$$
(Nechcem tu opakovať rovnaké postupy, ako sme použili tam.)
Ak dosadíme $x+1$ namiesto $t$, tak máme
$$f(x)=
(x^2+1)(x^2+4x+5)=
(x-i)(x+i)(x+2+i)(x+2-i).$$
Riešenie 2. Azda sa dá zbadať, že a dá zo zadaného polynómu vyňať $x^2+1$, najmä ak si ho človek prepíše ako $f(x)=x^4+4x^3+6x^2+4x+5=(x^4+x^2)+(4x^3+4x)+(5x^2+5)$.
Ak sme si všimli toto, tak už máme
$$f(x)=(x^2+1)(x^2+4x+5)$$
a môžeme pokračovať ďalej tak, že sa pozrieme na dva kvadratické polynómy, ktoré nám vyšli.
Polynóm $f(x)=x^4+4x^2+16$
Riešenie 1. Poďme sa pozrieť na to, či vieme nájsť korene tohoto polynómu. Pomôže nám to, že sa tam vyskytujú iba mocniny $1$, $x^2$, $x^4$, teda je to
bikvadratická rovnica.
Po substitúcii $x^2=t$ máme kvadratickú rovnicu
$$t^2+4t+16=0,$$
ktorú vieme riešiť. Pretože $D=-48$, dostaneme komplexné korene
$$t_{1,2}=-2\pm2\sqrt3i.$$
Zostáva nám teda nájsť pre ktoré $x\in\mathbb C$ platí
$$x^2=-2\pm2\sqrt3i.$$
To je binomická rovnica, ktorú vieme riešiť. (Inak povedané, hľadáme odmocniny v $\mathbb C$.)
Oplatí sa nám prepísať si pravú stranu do goniometrického tvaru
$$x^2=4\left(-\frac12\pm\frac{\sqrt3}2\right)=4\left(\cos(\pm\frac{2\pi}3)+i\sin(\pm\frac{2\pi}3)\right).$$
Potom už vieme štandardným spôsobom nájsť veľkosť aj uhol pre hľadané komplexné číslo $x$, konkrétne
$$x=\pm 2\left(\cos(\pm\frac{\pi}3)+i\sin(\pm\frac{\pi}3)\right) = \pm (1\pm i\sqrt3).$$
Našli sme štyri korene
\begin{align*}
x_1&=1+i\sqrt3\\
x_2&=1-i\sqrt3\\
x_3&=-1+i\sqrt3\\
x_4&=-1-i\sqrt3
\end{align*}
Tým máme rozklad na $\mathbb C$. Dvojice komplexne združených koreňov nám dajú dva kvadratické činitele, ktoré určujú rozklad nad $\mathbb R$. (A pretože ich koeficienty sú racionálne čísla, tak aj nad $\mathbb Q$.)
\begin{align*}
(x-1-i\sqrt3)(x-1+i\sqrt3)&=x^2-2x+4\\
(x+1-i\sqrt3)(x+1+i\sqrt3)&=x^2+2x+4
\end{align*}
Riešenie 2. Potom, čo sme tento trik už videli viackrát použitý, nikoho neprekvapí takýto prístup:
$$x^4+4x^2+16=(x^2+4)^2-(2x)^2=(x^2+2x+4)(x^2-2x+4).$$
Zostáva už rozložiť tieto dva kvadratické polynómy. (Zistíme, že nemá reálne korene. Komplexné korene nám dajú rozklad nad $\mathbb C$ na koreňové činitele.)
Polynóm $f(x)=x^4+x^2+1$
Dajú sa použiť postupy, ktoré sme už videli.
Doplniť tak, aby vyšiel rozdiel štvorcov:
$$x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2-x+1)(x^2+x+1).$$
Substitúcia $t=x^2$ nám dá kvadratickú rovnicu $t^2+t+1$, ktorú by sme vyriešili, našli komplexné korene a potom hľadali ich komplexné odmocniny.
Iné riešenie. Tu sa dá vcelku zbadať, že po vynásobení $x^2-1$ dostaneme výrazne jednoduchší polynóm. Konkrétne pre $g(x)=(x^2-1)f(x)$ dostanme
$$g(x)=(x^2-1)(x^4+x^2+1)=x^6-1.$$
(Ak si človek pamätá vzorec $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ resp. $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$, tak sa to asi vcelku zbadať dá. A typický matfyzák si takýto vzore a jeho zovšeobecnenie na $a^n-1$ resp. $a^n-b^n$ asi pamätá.)
Pomohlo nám to v tom, že korene polynómu $x^6-1$ vieme nájsť vcelku ľahko. To je rovnica $x^6=1$, ak sme sa naučili riešiť binomické rovnice v komplexných číslach, tak zbadáme veľmi rýchlo, že korene tohoto polynómu sú čísla tvaru $\cos k\frac\pi3+i\sin k\frac\pi3$ pre $k=0,1,\dots,6$. (Tvoria pekný pravidelný šesťuholník na jednotkovej kružnici.)
Ak vynecháme korene $\pm1$, ktoré sme pridali vynásobením $x^2-1=(x-1)(x+1)$, tak nám zostanú korene pôvodného polynómu
\begin{align*}
x_1&=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3=\frac12+i\frac{\sqrt3}2\\
x_2&=\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3=-\frac12+i\frac{\sqrt3}2\\
x_3&=\cos\frac{4\pi}3+i\sin\frac{4\pi}3=-\frac12-i\frac{\sqrt3}2\\
x_3&=\cos\frac{5\pi}3+i\sin\frac{5\pi}3=\frac12-i\frac{\sqrt3}2
\end{align*}
Tieto štyri korene nám dajú rozklad na $\mathbb C$. Rozklad nad $\mathbb R$ dostaneme opäť tak, že popárujeme komplexné združené korene. (A aj v tomto prípade nám vyjdú racionálne koeficienty a je to súčasne rozklad nad $\mathbb Q$.)
Kvadratické činitele, ktoré dostaneme v rozklade sú:
\begin{align*}
\left(x-\frac12-i\frac{\sqrt3}2\right)\left(x-\frac12+i\frac{\sqrt3}2\right)&=x^2-x+1\\
\left(x+\frac12-i\frac{\sqrt3}2\right)\left(x+\frac12+i\frac{\sqrt3}2\right)&=x^2+x+1
\end{align*}
Polynóm $f(x)=x^4-8x^2+16$
Vcelku ľahko vidno, že:
$$x^4-8x^2+16=(x^2-4)^2=(x-2)^2(x+2)^2.$$
Ak by sme náhodou aj nevšimli, že to je priamo druhá mocnina; stále to môžeme riešiť ako bikvadratickú rovnicu alebo hľadať racionálne korene - a oboje nás v tomto prípade dovedie k výsledku.