msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť - aby si mohli pozrieť, čo sa vlastne robilo.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach alebo cvičeniach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Budem sa snažiť s oboma skupina robiť dosť podobné veci, čiže obsah tohoto vlákna bude pravdepodobne veľmi podobný ako v topicu s cvikami druhej skupiny: viewtopic.php?t=1304

Určite cvičenia nebudú úplne presne totožné s tým, čo sme robili po minulé roky. Ak sa chcete pozrieť, čo sa robilo na cvičeniach v minulosti, môžete sa pozrieť tu:
viewtopic.php?t=1141
viewtopic.php?t=716
viewtopic.php?t=311

1. cvičenie (25.9.)
Keďže cvičenie bolo pred prednáškou (a navyše vo štvrtok odpadne prednáška - dekanské voľno), tak vlastne dnes sme mali prednášku.
Porozprával som niečo o zobrazeniach - definícia; skladanie; asociatívnosť skladania; injektívne, bijektívne, surjektívne zobrazenia. Stihol som ešte povedať ako je definované inverzné zobrazenie a to že existuje iba pre bijekciu - túto vetu som však už nedokázal (spravím nabudúce). V texte k prednáške sme teda vlastne skončili pri tvrdení 2.2.16 (ktoré bolo bez dôkazu).

2. cvičenie (2.10.)

Zobrazenia.
Dokázali sme, že inverzné zobrazenie k $f$ existuje práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. (Táto veta aj s dôkazom sa dá nájsť v poznámkach.)
Jednu implikáciu sme robili trochu všeobecnejšie, dokázali sme si, že:
a) Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
b) Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
Bez dôkazu sme spomenuli jednoznačnosť inverzného zobrazenia a tiež to, že $(f^{-1})^{-1}=f$ a $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

Permutácie. Povedali sme si niečo o permutáciách a ich skladaní. Ukázali sme, ako sa vypočíta zložená permutácia, inverzná permutácia a $\tau^n$ pre nejakú permutáciu $\tau$. (V podstate sme prešli podkapitolu 2.3 z poznámok.)
Popritom ako sme robili hľadali počet permutácií $n$-prvkovej množiny, sme si uvedomili niečo takéto: Ak $X$ je konečná množina a zobrazenie $f\colon X\to X$ je injekcia, tak $f$ musí byť aj surjekcia. (Platí to aj obrátene - zo surjektívnosti vyplynie v takomto prípade injektívnosť - to sme však už nedokazovali.)

Chvíľu sme sa rozprávali aj o tom ako by sa indukciou definovalo $\tau^n$ a ako by sa matematickou indukciou o tom dokazovali nejaké veci (napríklad $\tau^n\circ\tau^k=\tau^{n+k}$ alebo $(\tau^n)^k=\tau^{nk}$). Ak si chcete precvičiť úlohy na matematickú indukciu takéhoto typu, môžete sa pozrieť v poznámkach na definíciu 3.3.12 a úlohu 3.3.5, kde sa veľmi podobné veci robia s prvkami poľa, súčtom a súčinom.

3. cvičenie (9.10.)
Binárne operácie a grupy.
Niekoľko jednoduchých príkladov na overenie, či daná množina a binárna operácia tvoria grupu: $\mathbb N$, $\mathbb Z$, $\mathbb R$, $\mathbb C$ so sčitovaním; $\mathbb R$, $\mathbb R\setminus\{0\}$, $\mathbb Q\setminus\{0\}$, $\mathbb C\setminus\{0\}$, $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ s násobením.
Úloha 3.2.3 - $\mathbb R$ resp. $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s binárnou operáciou $a*b=ab+a+b$.
Skontrolovali sme, že ak je binárna operácia asociatívna, tak všetky "zmysluplné" uzátvorkovania štyroch prvkov dajú ten istý výsledok - príklad 3.1.13 v texte. (Takisto máte v texte - nepovinný -dôkaz, že to funguje pre ľubovoľný počet prvkov.)
Spomenul aj to, že počet takýchto uzátvorkovaní je Catalanove číslo. To je téme z kombinatoriky, nie z algebry - ale ak by niekoho zaujala, tak tu je linka.
Úloha 3.2.4 - pozreli sme sa na množinu všetkých zobrazení tvaru $f_{a,b}(x)=ax+b$, $f_{a,b}\colon\mathbb R\to\mathbb R$, potom len na tie kde $a\ne0$ a ešte na tie kde $a=1$. Vo všetkých prípadoch sme skontrolovali či to je grupa resp. komutatívna grupa.

4. cvičenie (16.10.)
Polia.
Ukázali sme si, že v $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ platí distributívnosť. (To bola už jediná časť dôkazu, že pre prvočíslo $n$ je $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ poľom, ktorú ste neurobili na predošlej prednáške.)
Povedali sme si definíciu poľa. (Neskôr sme ju sformulovali ešte raz iným spôsobom.) Ukázali sme si, ako priamo z definície vyplýva $a\cdot0=0$ a $a\cdot b=0 \Rightarrow a=0 \lor b=0$.
Overovali sme, či nejaké množiny reálnych čísel s obvyklým sčitovaním a násobením tvoria pole. Keďže sme v podmnožinách $\mathbb R$ a berieme obvyklé $+$ a $\cdot$, tak viaceré vlastnosti sme mali zadarmo. (Bolo sa treba zamerať najmä na to, či ide o binárnu operáciu a či inverzné prvky padnú do danej množiny.) Konkrétne sme zistili, že (s obvyklým sčitovaním a násobením):

• $F_1=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ je pole;
• $F_2=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\mathbb Q\}$ nie je pole;
• $F_3=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ je pole.

(Je to v podstate úloha 3.3.2 z poznámok k prednáške - len som niektoré časti trochu zmenil aby sme nemuseli robiť s komplexnými číslami.)
Posledný príklad považujem za náročnejší, ale tie predtým beriem ako štandardné úlohy, ktoré by mala väčšina z vás zvládnuť.
Pripomeniem, že v týchto úlohách sa ako pomerne užitočné ukázalo to, že sme vedeli dokázať, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
\begin{gather*}
a+b\sqrt2=0 \Leftrightarrow a=b=0\\
a+b\sqrt2=c+d\sqrt 2 \Leftrightarrow a=c \land b=d
\end{gather*}
Podobne sme ukázali, že
$$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=0 \Leftrightarrow a=b=c=d=0.$$
Tu sa ukázalo užitočným všimnúť si, že $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=(a+b\sqrt2)+(c+d\sqrt2)\sqrt3=x+y\sqrt2$ pre vhodné $x,y\in F_1$. Toto by mohlo pomôcť aj pri hľadaní inverzného prvku (to už je časť, ktorú sme nestihli).

Pridám tu ešte linku na niečo o poli $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$: viewtopic.php?t=349
Viac-menej to isté je i v texte v príkladoch 4.4.21 a 6.5.6. (Na prednáške/cvičeniach sa nám tieto veci pravdepodobne stihnúť nepodarí - dozviete sa však všetky veci, ktoré sa v týchto príkladoch využívajú.)
Snáď je zaujímavé vedieť, že nejaké veci, ktoré sa naučíme na tomto predmete, nám môžu výrazne zjednodušiť dôkaz toho, že toto tiež bude pole. (Neskôr - na Algebre 2 - sa budeme zaoberať podobnými vecami o dosť všeobecnejšie.)

5. cvičenie (23.10.)
Polia. Ešte sme sa vrátili k dôkazu existencie inverzného prvku v $F_3=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}=\{x+y\sqrt3; x,y\in F_1\}$.
Vektorové priestory.
Pozreli sme sa na počítanie v $\mathbb R^3$ a $(\mathbb Z_p)^3$.
Ukázali sme si počet prvkov v $(\mathbb Z_3)^n$ a to že v tomto priestore platí $\vec\alpha+\vec\alpha+\vec\alpha=\vec0$. (Úloha 4.1.8.)
Pozreli sme sa na vektorový priestor $F^M=\{f\colon M\to F\}$ všetkých zobrazení z $M$ do $F$. (V poznámkach k prednáške je to príklad 4.1.4.) Spomenuli sme si, že na $F^n$ a aj na priestor postupností sa dá pozerať ako špeciálne prípady (ak za $M$ vezmem $n$-prvkovú monožinu resp. $M=\mathbb N$.)
$\mathbb R$ je vektorový priestor nad $\mathbb Q$ - úloha 4.1.10. (Poznamenám, že toto vyzeralo dosť triviálne - všetky vlastnosti boli jasné takmer na prvý pohľad. Uvedomiť si, že ak mám takto dvojicu polí tak sa dá na to pozerať ako na vektorový priestor je často užitočné. Dôležité to bude keď budeme robiť s rozšíreniami polí na Algebre 2. Spomeniem ešte raz tento príklad: viewtopic.php?t=349 - kde sa dá s vecami čo budete brať tento semester aspoň niečo zaujímavé ukázať.)
Ešte sme sa pozreli na priestor tých reálnych postupností, ktoré spĺňajú $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. (Keď na najbližšej prednáške zavediete tento pojem, tak stručne môžeme povedať že to je podpriestor priestoru $\mathbb R^{\mathbb N}$.)
Síce sme ten pojem ešte nedefinovali, ale spomeniem, že viaceré z priestorov s ktorými sme robili dnes sú nekonečnorozmerné (konkrétne $F^{\mathbb N}$, t.j. priestor postupností; všeobecnejšie $F^M$ pre nekonečnú množinu $M$; takisto aj $\mathbb R$ ako vektorový priestor nad $\mathbb Q$ je nekonečnorozmerný.)

Budúcotýždňové cvičenia odpadnú (dekanské voľno resp. štátny sviatok). Budem sa snažiť aj tak pridať na web počas budúceho týždňa nejakú domácu úlohu - aby ste mali za čo zbierať body.

6. cvičenie (6.11.)
Podpriestory. Niekoľko úloh typu zistiť, či daná podmnožina $\mathbb R^3$ resp. $\mathbb R^{\mathbb R}$ je podpriestor (Niektoré časti z úloh 4.2.3 a 4.2.4, konkrétne 4.2.3a,b,c,i,j a 4.2.4a,c,d,e.)
Pri príkladoch v $\mathbb R^3$ sme spomenuli, že sme videli viacero podpriestorov v tomto priestore: nulový podpriestor, priamka (prechádzajúca cez nulu), rovina (prechádzajúca cez nulu), celý priestor. Z vecí, čo budú na prednáške čoskoro nasledovať, bude vidieť to že v $\mathbb R^3$ už iné podpriestory nie sú.

7. cvičenie (13.11.)
Lineárna závislosť a nezávislosť. Pozreli sme sa na lineárnu nezávislosť v niektorých priestoroch tvaru $F^n$; konkrétne úloha 4.3.5 a,b,d. A tiež na lineárnu nezávislosť v priestore $\mathbb R^{\mathbb R}$; stihli sme 4.3.6a,c,d,e.
Aj na cviku som spomenul k úlohám o závislosti/nezávislosti vektorov z $F^n$, že: Zatiaľ sme takéto úlohy riešili pomocou sústavy lineárnych rovníc. V rámci tohoto predmetu sa jednak naučíme efektívnejší zápis ako sa sústavy dajú zapisovať a počítať, okrem toho budeme aj vidieť iné možnosti ako o daných vektoroch zistiť či sú lineárne závislé/lineárne nezávislé.
Ešte sme sa na konci chvíľu rozprávali o tom, že polynóm sa rovná nule práve vtedy, kedy sú všetky koeficienty nulové. (Keďže tento fakt sme párkrát použili.) Resp. aj o tom, že počet koreňov nenulového polynómu je nanajvýš taký ako jeho stupeň. Niečo viac som k tomu napísal tu: viewtopic.php?t=1349 (Je to v inom subfóre - keďže táto vec sa vyskytuje aj na inom predmete.)

8. cvičenie - písomka

9. cvičenie: (27.11.)
Vlastne všetky úlohy, ktoré sme dnes rátali, boli také, kde sa dali použiť riadkové operácie a úprava na redukovanú trojuholníkovú maticu. (Pojem redukovanej trojuholníkovej matice na prednáške ešte len bude - ale na cvičení sme spravili aspoň to, že sme sa vo viacerých príkladoch dopracovali k matici, ktorá mala viacero stĺpcov takých, že tam bola jedna jednotka a ostatné nuly.) Typov úloh, kde sa dajú tieto veci použiť, bude ešte veľmi veľa: viewtopic.php?t=540
Konkrétne sme sa pozreli na úlohy .2.5 (patrí vektor do lineárneho obalu daných vektorov resp. porovnanie dvoch lineárnych obalov), 5.2.2 b,c (doplnenie na bázu), 5.2.11b (nájsť bázu a dimenziu).
Povedali sme si ako sa dá robiť čiastočná skúška správnosti pri úprave na RTM (viewtopic.php?t=531 a poznámka 5.2.18)
Okrem toho sme stihli nejaké príklady na výpočet hodnosti matice s parametrom, konkrétne dve matice z úlohy 5.2.8. Povedali sme si, že pri výpočte hodnosti sa môžu používať aj stĺpcové operácie (dôkaz bude neskôr na prednáške).
Riešenia zopár úloh na hodnosť s parametrom sa dajú nájsť aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190

10. cvičenie: (4.11.)
Na začiatku sme sa trochu rozprávali o tom, ako sa dajú riadkové úpravy použiť pri riešení sústav. (Na prednáške sa k tomuto dostanete neskôr, v texte sa dajú nájsť nejaké vyriešené príklady. Robil som to skôr ako to bolo na prednáške z toho dôvodu, aby ste takúto metódu riešenia sústav videli ešte pred písomkou.)
Pozreli sme sa na príklad na určenie dimenzie a bázy pre súčet a prienik daných podpriestorov (konkrétne sme urobili úlohu 4.5.1b.)
Urobili sme ešte úlohu 5.2.3 (zistiť či zadané matice tvoria bázu priestoru $M_{2,2}(\mathbb R)$) a 4.4.7 (boli zadané dva lineárne nezávislé vektory a rátali sme počet možností koľkými sa dajú doplniť na bázu priestoru $(\mathbb Z_5)^4$).