Úloha 2.7. Dokážte: Ak pre každý prvok x grupy $(G, \circ)$ platí $x \circ x=e$, tak táto grupa je komutatívna
Posted: Wed Oct 10, 2018 3:16 pm
Úloha 2.7. Dokážte: Ak pre každý prvok x grupy $(G, \circ)$ platí $x \circ x=e$, tak táto grupa je komutatívna.
Ak platí že $x \circ x = e$, znamená že $x$ je aj svojim inverzným prvkom, čiže $x$ = $x^{-1}$.
Ak má byť grupa komutatívna, musí platiť $\forall a,b \in G, a \circ b = b \circ a$. Označme si $a \circ b = x$. Túto rovnicu vieme ďalej upravovať:
\begin{align}
a &= x \circ b^{-1} && \text{vynásobili sme rovnicu $b^{-1}$ zprava} \\
x^{-1} \circ a &= b^{-1} && \text{vynásobili sme rovnicu $x^{-1}$ zľava} \\
x^{-1} &= b^{-1} \circ a^{-1} && \text{vynásobili sme rovnicu $a^{-1}$ zprava} \\
\end{align}
No a keďže $\forall x \in G$ platií že $x^{-1} = x$, čiže sa môžme v rovnici zbaviť všetkých inverzov a dostávame rovnicu $x = b \circ a$, a keď za $x$ dosadíme $a \circ b$, dostávame $a \circ b = b \circ a$, čím sme dokázali že grupa $(G, \circ)$ je komutatívna.
Ak platí že $x \circ x = e$, znamená že $x$ je aj svojim inverzným prvkom, čiže $x$ = $x^{-1}$.
Ak má byť grupa komutatívna, musí platiť $\forall a,b \in G, a \circ b = b \circ a$. Označme si $a \circ b = x$. Túto rovnicu vieme ďalej upravovať:
\begin{align}
a &= x \circ b^{-1} && \text{vynásobili sme rovnicu $b^{-1}$ zprava} \\
x^{-1} \circ a &= b^{-1} && \text{vynásobili sme rovnicu $x^{-1}$ zľava} \\
x^{-1} &= b^{-1} \circ a^{-1} && \text{vynásobili sme rovnicu $a^{-1}$ zprava} \\
\end{align}
No a keďže $\forall x \in G$ platií že $x^{-1} = x$, čiže sa môžme v rovnici zbaviť všetkých inverzov a dostávame rovnicu $x = b \circ a$, a keď za $x$ dosadíme $a \circ b$, dostávame $a \circ b = b \circ a$, čím sme dokázali že grupa $(G, \circ)$ je komutatívna.