msleziak.com

Úloha 2.2. Ak viete, že ide o tabuľku asociatívnej binárnej operácie, doplňte chýbajúce výsledky (ak sa to dá).
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
\cdot & a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & & & \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$

Z tabulky vieme:

$a \cdot a = b$
$a \cdot b = a$
$a \cdot c = c$

Postupne dosadzujeme do vzorcov. Zoberme $a \cdot b = a$ a $a \cdot a = b$. Dosadime $a \cdot a$ z druhej rovnice za $b$ v prvej. Dostaneme:
$a \cdot a \cdot a = a$
Kedze $\cdot$ je asociativna operacia:
$(a \cdot a) \cdot a = a \cdot (a \cdot a)$
Dosadime $b$ za $(a \cdot a)$ a dostaneme:
$b \cdot a = a$
Zapiseme do tabulky:

$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
\cdot & a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & a & & \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$

Vztah $b \cdot c$ dostaneme spojenim $a \cdot c = c$ a $a \cdot a = b$
$a \cdot c = c$
$a \cdot (a \cdot c) = c$
$(a \cdot a) \cdot c = c$ (vdaka asociativite)
$b \cdot c = c$

Vztah $b \cdot b$ dostaneme spojenim $a \cdot a = b$ a $a \cdot b = a$
$a \cdot a = b$
$a \cdot (a \cdot b) = b$
$(a \cdot a) \cdot b = b$ (vdaka asociativite)
$b \cdot b = b$


Tabulka teda bude vypadat:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
\cdot & a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & a & b & c \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$

Posledny riadok nevieme dopocitat nakolko v ziadnej z rovnic nie je $c$ lavy operand a $c$ je vysledkom len tych operacii, v ktorych figuruje $c$. Teda nevieme nic povedat o operaciach:
$c \cdot a$
$c \cdot b$
$c \cdot c$

Matus Ferech wrote: ↑Wed Oct 10, 2018 4:12 pm Posledny riadok nevieme dopocitat nakolko v ziadnej z rovnic nie je $c$ lavy operand a $c$ je vysledkom len tych operacii, v ktorych figuruje $c$. Teda nevieme nic povedat o operaciach:
$c \cdot a$
$c \cdot b$
$c \cdot c$

V skutočnosti vieme posledný riadok doplniť.
Skúsim pridať drobný hint, azda pomôže pohnúť sa ďalej.
Všimnite si, že $a \cdot (c\cdot a) = c\cdot a$. Viete z toho niečo povedať o $c\cdot a$?

Dobrý deň, posielam kompletné riešenie tohto doteraz nedoriešeného príkladu.

Zo zadania:
* je asociatívna binárna operácia (BO);
a*a = b;
a*b = a;
a*c = c.

$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
\cdot & a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & & & \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$

Asociativitu * využijeme v našom riešení 6x:

Po prvé,
platí (a*b)*c = a*(b*c) z čoho po úprave dostaneme c = a*(b*c). Keďže jedine a*c = c, potom nevyhnutne b*c = c.

Po druhé,
platí (a*b)*a = a*(b*a) z čoho po úprave dostaneme b = a*(b*a). Keďže jedine a*a = b, potom nevyhnutne b*a =a.

Po tretie,
platí (a*b)*b = a*(b*b) z čoho po úprave dostaneme a = a*(b*b). Keďže jedine a*b = a, potom nevyhnutne b*b = b.

Odvodili sme, že
b*a = a;
b*b = b;
b*c = c;

čo znamená, že b je ľavý neutrálny prvok BO *.

$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
\cdot & a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & a & b & c \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$

Po štvrté,
platí (a*c)*a = a*(c*a) z čoho po úprave dostaneme c*a = a*(c*a). Keďže * je BO, musí platiť, že
c*a = a ALEBO c*a = b ALEBO c*a = c.

Nech c*a = a. Využime túto rovnosť na pravej strane rovnice (PS), tj:
c*a = a*(c*a)
c*a = a*a (lebo predpoklad)
po ďalšej úprave PS:
c*a = b (zo zadania), čo je SPOR s predpokladom, že c*a = a.

Nech c*a = b. Využime túto rovnosť na PS, tj:
c*a = a*(c*a)
c*a = a*b (lebo predpoklad)
po ďalšej úprave PS:
c*a = a (zo zadania), čo je SPOR s predpokladom, že c*a = b.

Preto nevyhnutne, c*a = c.

Po piate,
platí (a*c)*c = a*(c*c) z čoho po úprave dostaneme c*c = a*(c*c). Keďže * je BO, musí platiť, že
c*c = a ALEBO c*c = b ALEBO c*c = c.

Nech c*c = a. Využime túto rovnosť na PS, tj:
c*c = a*(c*c)
c*c = a*a (lebo predpoklad)
po ďalšej úprave PS:
c*c = b (zo zadania), čo je SPOR s predpokladom, že c*c = a.

Nech c*c = b. Využime túto rovnosť na PS, tj:
c*c = a*(c*c)
c*c = a*b (lebo predpoklad)
po ďalšej úprave PS:
c*c = a (zo zadania), čo je SPOR s predpokladom, že c*c = b.

Preto nevyhnutne, c*c = c.

Poznámka:
Už sme ukázali, že b je ľavý neutrálny prvok. Ďalej vieme, že
a*b = a;
b*b = b.
Ak bude platiť, že
c*b = c,
potom b bude aj pravým neutrálnym prvkom, teda b bude neutrálnym prvokom BO *.

Po šieste,
platí (c*b)*a = c*(b*a) z čoho po úprave dostaneme (c*b)*a = c. Keďže jedine c*a = c, potom nevyhnutne c*b = c.

Týmto sme zaplnili všetky bunky tabuľky. Navyše, keďže platí c*b = c (viď poznámka), zistili sme, že b je neutrálnym prvkom BO *.

$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
\cdot & a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & a & b & c \\\hline
c & c & c & c \\\hline
\end{array}
$$

Dominika Harmanová wrote: ↑Tue Oct 30, 2018 8:39 pm Po štvrté,
platí (a*c)*a = a*(c*a) z čoho po úprave dostaneme c*a = a*(c*a). Keďže * je BO, musí platiť, že
c*a = a ALEBO c*a = b ALEBO c*a = c.

To čo píšete je správne, ale vlastne sa dá prísť na hodnotu $c*a$ aj jednoduchšie ako preberaním všetkých možností.
Pridám sem tabuľku sumarizujúcu čo už viete keď ste na tomto mieste:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
\cdot & a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & a & b & c \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$
Odvodili ste, že máme takúto rovnosť
\begin{gather*}
c*a = a*(c*a)\\
x = a*x
\end{gather*}
kde som označili $x=c*a$. (T.j. $x$ je prvok ktorý chceme nájsť).
Stačí sa pozrieť do prvého riadku tabuľky - tam máme všetky hodnoty $a*x$ a ten už je vyplnený. A zistíme, že $a*x=x$ platí iba pre $x=c$.
(Toto je zhruba to isté čo ste spravili aj vy. Akurát ste pri rozoberaní tých možností znovu používali asociatívnosť, hoci sa stačilo odvolať na niečo čo ste už mali spravené.)

Doeditoval som do vášho riešenia na niektoré miesta čiastočne vyplnenú tabuľku - ako sumár toho čo v danom okamihu už vieme. (Mne sa zdá, že to môže pomôcť človeku ktorý vaše riešenie číta; ale konečnú podobnu do ktorej to doeditujete nechám samozrejme na vás.)
Riešenie je ok (značím si 1 bod). Aj keď pridám ešte nejaké doplňujúce otázky. (A za čiastočné riešenie uvedené vyššie si značím 0.5 bodu.)

V závislosti od toho ako sa pozeráme na zadanie úlohy sa dá buď povedať že riešenie je už hotové, alebo že ešte niečo chýba.

Vlastne to čo sme zistili je, že jediná možnosť ako by mohla vyzerať tabuľka operácie, ktorá spĺňa podmienky zo zadanie je takáto:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
\cdot & a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & a & b & c \\\hline
c & c & c & c \\\hline
\end{array}
$$

Zatiaľ sme neskontrolovali, či toto je skutočne asociatívna operácia. (A ak by sme náhodou zistili, že nie, tak vlastne odpoveď na zadanú úlohu je že taká operácia neexistuje.)

Doplňujúca otázka: Zdôvodnite, že táto tabuľka naozaj predstavuje asociatívnu operáciu.
Mierne preferujem riešenie, ktoré neskúša úplne všetky možnosti - alebo ak aj áno, tak sa snaží čím viac z nich naraz.
Za riešenie doplňujúcej otázky sa dá získať 0.5 bodu. (A nie je nijaké obmedzenie že na ňu môžu odpovedať iba ľudia, ktorí už v tejto úlohe niečo spočítali - je to otvorené pre kohokoľvek.)