msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Prednáška č. 1 (4. 10. 2018)
Binárne operácie, základné vlastnosti - komutatívnosť, asociatívnosť, (ľavé, pravé, obojstranné) neutrálne a (ľavé, pravé, obojstranné) inverzné prvky ). Definícia grupy.

Prednáška č. 2 (11. 10. 2018)
Vlastnosti grúp. Grupy typu $(Z_n,\oplus)$. Hovorili sme o operácii $\odot$ na množine $Z_n$ a ako dôležitú vetu sme dokázali, že $(Z_n\setminus \{0\},\odot)$ je grupa práve vtedy, keď je $n$ prvočíslo. Dôkaz bol spravený ináč ako je to v skriptách (dokázali sme Úlohu 3.2.13 a Úlohu 3.2.14 zo skrípt a pomocou 3.2.14 sme už ľahko dokázali toto tvrdenie).

Prednáška č. 3 (18. 10. 2018)
Definícia poľa $(F,+,.)$. Príklady. $(Z_n,\oplus,\odot)$ je pole práve vtedy, keď je $n$ prvočíslo. Základné vlastnosti násobenia v poli.
Násobenie typu $n\times a$ pre $n\in Z, a\in F$ (mocnina prvku $a\in F$ v grupe $(F,+)$, mocnina typu $a^n$ prvku $a\in F\setminus\{0\}$ pre $n\in Z$ (t.j. mocnina prvku $a$ v grupe $(F\setminus\{0\}, .)$).
Definícia vektorových priestorov. Príklady (trochu podrobnejšie príklad v.p. $(F,F^n)$). Základné vlastnosti vektorových priestorov.

Prednáška č. 4 (25. 10. 2018)
Podpriestory vektorového priestoru. Prienik podpriestorov (dvoch, ľubovoľne "veľa") daného v.p. je jeho podpriestor.
Podpriestor generovaný množinou $X\subseteq V$ vo v.p. $(F,V)$ ako prienik podpriestorov obsahujúcich danú množinu $X$, t.j.
$$[X]= \bigcap \{S\subseteq V;\ X\subseteq S\quad \&\quad S \text{ je podpriestor } V\}$$ a základné vlastnosti $[X]$.
Definícia lineárnej kombinácie vektorov $\vec{x_1},\dots,\vec{x_n}$, veta
$$[\{\vec{x_1},\dots,\vec{x_n}\}]= \{c_1\vec{x_1}+\dots+c_n\vec{x_n};\ c_1,\dots,c_n\in F\}$$
t.j. podpriestor generovný vektormi $\vec{x_1},\dots,\vec{x_n}$ je práve množina všetkých linárnych kombinácií týchto vektorov.

Prednáška č. 5 (8. 11. 2018)
Riešenie úlohy, kedy je
$$
[\vec{x_1},\dots,\vec{x_n}]=[\vec{y_1},\dots,\vec{y_m}]
$$ a špeciálne veta o tom, že pre $n\ge 2$
$$
[\vec{x_1},\dots,\vec{x_n}]=[\vec{x_1},\dots,\vec{x_{i-1}},\vec{x_{i+1}},\dots,\vec{x_n}]
$$
práve vtedy keď $x_i\in [\vec{x_1},\dots,\vec{x_{i-1}},\vec{x_{i+1}},\dots,\vec{x_n}]$, t.j. práve vtedy, keď je $x_i$ lin. kombináciou vektorov $\vec{x_1},\dots,\vec{x_{i-1}},\vec{x_{i+1}},\dots,\vec{x_n}$.

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov. Kritériá na zistenie LZ/LN vektorov pomocou pojmu lineárnej kombinácie (predchádzajúcich, ostatných vektorov).

Steinitzova veta (zatiaľ nebol spravný dôkaz). Znova upozorňujem, vo formulácii Steintzovej vety sa nevyskytuje slovo "báza"!!!

Pojem konečne generovaného/konečne rozmerného v.p., pojem bázy (konečne generovaného v.p.).

Dôkaz vety, ktorá hovorí, že ak má v.p. nejakú bázu, tak všetky bázy majú rovnako veľa prvkov.

Definícia dimenzie, rozmeru (konečne generovaného) v.p.

Prednáška č. 6 (15. 11. 2018)

Urobili sme dôkaz Stenitzovej vety. Robili sme veci o báze a dimenzii podľa kapitoly 4.4. Ešte nám chýba veta 4.4.17 a tvrdenie 4.4.18.

Prednáška č. 7 (22. 11. 2018)
Dokončenie kapitoly o bázach vektorových priestorov.
Za D.Ú. som dal naštudovať kapitolu 4.5 Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Bolo by dobre to naštudovať do 2. decembra, aby ste sa na to mohli prípadne opýtať na cvičeniach už v týždni od 3. decembra.

Pojem matice nad poľom $F$. Matice vektorový priestor, t.j. $M_{m,n}(F)$, jeho dimenzia - $dim(M_{m,n}(F))=m.n$.
Riadkový priestor matice $A$, t.j. $V_A$, pojem elementárnych riadkových operácií (ERO) a riadkovej ekvivalencie matíc typu $m\times n$.
Ak matica $B$ vznikne z matice $A$ pomocou jednej ERO (ktoréhokoľvek typu), tak $V_A=V_B$. Ak sú matice $A, B$ riadkovo ekvivalentné, tak $V_A=V_B$.

Prednáška č. 9 (29. 11. 2018)

Štvorcová matica, diagonálna matica, jednotková matica $I_n, I$, matica transponovaná ku danej matici.
Redukovaná trojuholníková (stupňovitá) matica. Gaussova eliminačná metóda pre matice (každá matica je riadkovo ekvivalentná s redukovanou trojuholníkovou maticou). Nenulové riadky (redukovanej) trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé. Určovanie, či daný vektor patrí do daného podpriestoru $S=[\vec{\alpha_1},\dots,\vec{\alpha_k}]\subseteq F^n$ pomocou matice $A$ takej že $V_A=S$ a jej trojuholníkového redukovaného tvaru. Ku danej matici existuje práve jedna riadkovo ekvivalentná redukovaná trojuholníková matica.

Prednášky č. 10 a 11 (7. 12. a 13. 12.2018)
Lineárne zobrazenia, príklady, ekvivalentné kritériá, základná veta o lineárnych zobrazeniach, obraz podpriestoru pri lin. zobrazení je podpriestor, vzor podpriestoru pri lineárnom zobrazení je podpriestor. Pojmy obrazu $Im(f)$ a jadra $Ker(f)$ lieárneho zobrazenia (a že to sú podpriesotry), charakterizácia $Im(f)$ pre $f: [\vec{\alpha_1},\dots,\vec{\alpha_n}]\to W$ ako $Im(f)=[f(\vec{\alpha_1}),\dots,f(\vec{\alpha_n})]$, t.j. napríklad, že lineárne zobrazenie $f: V\to W$ je pre $V$ s bázou $\vec{\alpha_1},\dots,\vec{\alpha_n}$ surjektívne práve vtedy, keď $[f(\vec{\alpha_1}),\dots,f(\vec{\alpha_n})]=W$.

Pre lineárne zobrazenia $f:F^n\to F^m$ sme definovali maticu $A_f$ tohoto zobrazenia, zadefinovali sme "násobenie" typu vektor krát matica, pomocou ktorého sme ukázali, že potom platí $f(\vec{\alpha})=\vec{\alpha}\ A_f$. Ukázali sme si, ako sa takáto matica "počíta".

Kompozícia (zloženie) lineárnych zobrazení (ak sa dá urobiť) je opäť lineárne zobrazenie. Matica $A_{g\circ f}$ kompozície lin. zobrazení $f:F^n\to F^m$ a $g:F^m\to F^k$ a definícia súčinu matice $A\in M_{n,m}(F), B\in M_{m,k}(F)$ (t.j. pre lin zobr. $f,g$ také, že $A=A_f, B=A_g$ definujeme $A\cdot B= A_{g\circ f}$, čo je známa, jednoznačne určená matica). Odtiaľto sme odvodili vzorec na výpočet jednotlivých prvkov matice $C=A\cdot B$ pomocou prvkov $a_{ij}$ matice $A$ a prvkov $b_{ij}$ matice $B$.

Zobrazenia inverzné ku (bijektívnym) lineárnym zobrazeniam sú opäť lineárne zobrazenia. Spôsob nájdenia matice zobrazenia $f^{-1}$ pre zobrazenie $f:F^n\to F^n$ dané maticou $A_f$. Pojem inverznej matice ku danej matici a ukázali sme, že je to vlastne matica inverzného lineárneho zobrazenia, čím sme dostali aj popis, ako nájsť inverznú maticu (a videli sme, že to je možné len ak je hodnosť danej matice $n$, samozrejme pre matice $n\times n$).

Z kapitol o lineárnych zobrazeniach, súčine matíc a inverzných matíc ešte chýba popis, kritérium, poskytujúce jednoduchú ekvivalentnú podmienku na injektívnosť lin. zobrazenia (lema 5.5.2 i), veta 5.5.3 a jej dôsledky 5.5.4 a 5.5.5, pojem regulárnej/singulárnej matice a nejaké dôsledky týkajúce sa inverzných matíc a pojem izomorfizmu vektorových priestorov.

D.Ú. Kapitola o determinantoch
definícia
spôsoby výpočtu (napr. Sarusovo pravidlo pre determinanty matíc $3\times 3$, počítanie pomocou Laplaceovho rozvoja podľa nejakého riadku alebo stĺpca, "vplyv" elementárnych riadkových operácií na determinant, počítanie determinantu pomocou Gaussovej eliminácie)
veta: $det(A.B)= det(A).det(B)$ pre matice $A,B$ typu $n\times n$.
aplikácie: počítanie inverznej matice, Cramerovo pravidlo na riečenie systémov lineárnych rovníc