Veta o delení so zvyškom
Posted: Thu Oct 25, 2018 4:03 pm
Vo viacerých úvahách využívame fakt, ktorému sa hovorí veta o delení so zvyškom.
Najmä keď pracujeme grupou $\mathbb Z_n$ (so sčitovaním modulo $n$) alebo okruhom $\mathbb Z_n$ (so sčitovaním a násobením modulo $n$), ale aj inde (napríklad v dôkaze vety že každá podgrupa grupy $(\mathbb Z,+)$ má tvar $m\mathbb Z=\{m\cdot z; z\in\mathbb Z\}$ pre vhodné $\mathbb Z$).
Veta o delení so zvyškom: Nech $a$, $b$ sú celé čísla a navyše $b>0$. Potom existujú čísla $q,r\in\mathbb Z$ také, že platí
$$a=q\cdot b+r \qquad\text{a}\qquad 0\le r <b.$$
Navyše tieto čísla $q$ a $r$ sú uvedenými podmienkami jednoznačne určené.
V znení vety som tieto číslo označil $q$ (z anglického quotient) a $r$ (z anglického remainder). Aj ich zvykneme volať podiel a zvyšok.
Fakt, ktorý tu spomínam je pomerne jasný. (A navyše to je niečo, čo pravdepodobne poznáte zo strednej školy - aj keď možno ste to nemali sformulované v takejto podobe, tak to že deliť so zvyškom sa dá a ako sa to robí viete.) Aj tak sa môžeme skúsiť zamyslieť nad tým, či by sme to vedeli nejako poriadne dokázať.
Skúsim sem pridať aj pár odkazov, kde sa dá dôkaz nájsť. Ale napíšem dôkaz aj sem na fórum - neviem, do akej miery sa mi to podarí, ale rád by som ho napísal ako postupnosť hintov, aby ste mohli skúsiť prísť na dôkaz tejto vety aj sami. (A samozrejme môžete začať tým, že sa zamyslíte nad tým, čo by ste vedeli dokázať aj bez toho, že dostanete nejaké hinty.)
Samozrejme, toto určite nie je jediná možnosť ako dokazovať toto tvrdenie. (Môžete sa napríklad zamyslieť nad tým, či by ste vedeli napísať nejaký rozumný dôkaz, ktorý by sa robil indukciou.)
Najmä keď pracujeme grupou $\mathbb Z_n$ (so sčitovaním modulo $n$) alebo okruhom $\mathbb Z_n$ (so sčitovaním a násobením modulo $n$), ale aj inde (napríklad v dôkaze vety že každá podgrupa grupy $(\mathbb Z,+)$ má tvar $m\mathbb Z=\{m\cdot z; z\in\mathbb Z\}$ pre vhodné $\mathbb Z$).
Veta o delení so zvyškom: Nech $a$, $b$ sú celé čísla a navyše $b>0$. Potom existujú čísla $q,r\in\mathbb Z$ také, že platí
$$a=q\cdot b+r \qquad\text{a}\qquad 0\le r <b.$$
Navyše tieto čísla $q$ a $r$ sú uvedenými podmienkami jednoznačne určené.
V znení vety som tieto číslo označil $q$ (z anglického quotient) a $r$ (z anglického remainder). Aj ich zvykneme volať podiel a zvyšok.
Fakt, ktorý tu spomínam je pomerne jasný. (A navyše to je niečo, čo pravdepodobne poznáte zo strednej školy - aj keď možno ste to nemali sformulované v takejto podobe, tak to že deliť so zvyškom sa dá a ako sa to robí viete.) Aj tak sa môžeme skúsiť zamyslieť nad tým, či by sme to vedeli nejako poriadne dokázať.
Skúsim sem pridať aj pár odkazov, kde sa dá dôkaz nájsť. Ale napíšem dôkaz aj sem na fórum - neviem, do akej miery sa mi to podarí, ale rád by som ho napísal ako postupnosť hintov, aby ste mohli skúsiť prísť na dôkaz tejto vety aj sami. (A samozrejme môžete začať tým, že sa zamyslíte nad tým, čo by ste vedeli dokázať aj bez toho, že dostanete nejaké hinty.)
Samozrejme, toto určite nie je jediná možnosť ako dokazovať toto tvrdenie. (Môžete sa napríklad zamyslieť nad tým, či by ste vedeli napísať nejaký rozumný dôkaz, ktorý by sa robil indukciou.)