msleziak.com

Úloha 3.5.:
a, Nájdite príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ dve riešenia.
b) Nájdite príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ jediné riešenie.
c) Dá sa nájsť príklad poľa, v ktorom rovnica $x^2=1$ nemá riešenie?
d) Dá sa nájsť príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ viac ako dve riešenia?
e) Nájdite odpovede na rovnaké otázky pre rovnicu $x^2=−1$.

Riešenie:
a, $\mathbb R$ - konkrétne $1$ a $-1$
b, $\mathbb Z_2$ - konkrétne $1$
c, keďže $1$ je výsledok násobenia dvoch prvkov poľa a násobenie je na ňom binárna operácia -> dostaneme tiež prvok poľa. Z toho dostávame, že $1$ platí poľu. Keďže $1*1=1$ tak rovnica má riešenie.
d, viac ako $2$ riešenia nemôžeme mať, keďže ako bolo dokázané v úlohe 3.4. $x^2=y^2 ⇔ x=y ∨ x=−y$ (ako vidíme, najviac dve riešenia)
e, $x^2=−1$ má $2$ riešenia v $\mathbb C$ (konkrétne $i$ a $-i$), jedno riešenie má rovnako v $\mathbb Z_2$ (keďže v danej množine je -1=1, riešime prípad $x^2=1$ ako v bode b), nemá riešenie v $\mathbb R$ a viac ako dve nemá - to sme si odôvodnili v bode d,.

Tu budem mať viacero pripomienok.
Hlavná je asi tá, že na niektorých miestach argumentujete ako keby každé pole muselo byť podmnožinou (resp. dokonca podpoľom) poľa $\mathbb C$. Otázka je však o poliach všeobecne.
Samozrejme, keď hľadám príklad poľa, ak nájdem taký príklad poľa vnútri komplexných čísel, tak mi to úplne stačí.
Ale ak chcem zdôvodniť že niečo platí pre ľubovoľné pole, tak sa už nemôžem obmedziť iba na číselné množiny s obvyklým sčitovaním a násobením.

Konkrétne čo by som chcel doplniť je v b nájsť príklad takého poľa. A pozrieť sa na c,d,e či rovnaký argument bude fungovať pre ľubovoľné pole, ak nie tak ho skúsiť zmeniť

Michaela Dlugošová wrote: ↑Sat Nov 03, 2018 12:27 pm b) Nájdite príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ jediné riešenie.
b, museli by sme sa zbaviť $1$ alebo $-1$, ak by sme tak však spravili, v nami vytvorenej podmnožine by neexistoval inverzný prvok pre $+$ k prvku, ktorý sme nechali (teda by sa nejednalo o komutatívnu grupu pre $+$ a nemohlo by to byť pole).

Nemohlo by sa v nejakom poli stať, že $1=-1$? (T.j. prvok $1$ je v $(F,+)$ inverzný sám k sebe.)

K ostatným častiam asi len zopakujem to, čo som napísal vyššie - treba to nejako zdôvodniť pre ľubovoľné pole, čiže nemôžeme predpokladať, že pracujeme s nejakou množinou komplexných čísel.

Opravila som jednotlivé body b,c,d,e.

K novej verzii v princípe nemám mať aké výhrady - značím si 1 bod.