msleziak.com

Na dnešnom seminári sme videli pojmy nearly open set a super dense set. Narazili sme na ne v súvislosti s témou silno separátne spojitých funkcií.
Aby sme do tejto problematiky lepšie videli, nezaškodilo by mať pár jednoduchých konkrétnych príkladov. (O nejaký sme sa aj pokúšali na dnešnom seminári, aj keď nie je zatiaľ jasné či je naozaj správny.)

Skúsim tu aspoň zosumarizovať podstatné definície, azda časom sa niekomu z nás podarí sem aj pridať nejaké rozumné príklady. Držím sa zhruba toho ako je to zadefinované v článku [KV2016] (Karlova, Visnyai; 2016) aj keď označenie som na niektorých miestach máličko zmenil, snažil som sa držať toho aké označenie sa používalo na seminári.

Kontext je vždy taký, že pracujeme s nejakým priestorom postupností, označme ho $X$. (Resp. v niektorých článkoch je to všeobecnejšie, podobné veci sa robia s nejakým súčinom topologických priestorov. Pre jednoduchosť sa držme zatiaľ postupností, pričom priestory s ktorými sme sa stretli boli $X=\ell_2$, $X=\ell_p$, $X=\ell_\infty$.)

Pre $a\in X$ označíme $\sigma(a)$ množinu tých postupností z $X$, ktoré sa od $a$ líšia iba na konečne veľa miestach. (Inak povedané, je to vlastne trieda ekvivalencie vzhľadom na reláciu $=^*$, kde $x=^*y$ znamená, že množina $\{n; x_n\ne y_n\}$ je konečná.)

Definition. A set $W\subseteq \sigma(a)$ is nearly open in $\sigma(a)$ if for every finite set $M=\{m_1<m_2<\dots<m_k\}$ the set
$$W_M=\{(x_{m_1},x_{m_2},\dots,x_{m_k}); a^x_M\in W\}$$
is open in $\mathbb R^k$.
Here $a^x_M$ denotes the sequence given by
$$y_n=
\begin{cases}
x_n; & n\in M, \\
a_n; & n\notin M.
\end{cases}
$$

Definition. A set $A\subseteq\sigma(a)$ is said to be super dense in $\sigma(a)$ if $A$ has non-empty intersection with every non-empty nearly open set $W$.

V článku [KV2016] bol najprv definovaný "superuzáver" $\overline A^{\bullet}$ a pomocou neho sa definovala super uzavretá množina. Malo by byť vidieť, že toto je tá istá definícia sformulovaná trochu inak.

Označme si ešte ako $W_M^*$ množinu všetkých "doplnení" $(x_{m_1},\dots,x_{m_k})$ súradnicami z $a$, t.j.
$$W_M^*=\{y\in\sigma(a); y|_{M^c}=a_{M^c}, y|_M=x, \text{ pre nejaké }x\in W_M\}.$$

Racionálne hodnoty
Príklad, o ktorom sme sa dnes snažili ukázať, že to je superhustá množina v $\sigma(a)$ bol takýto.

Ako $D$ označme množinu všetkých postupností, ktoré sa pre nejakú konečnú množinu spĺňajú podmienku, že $x_n\in\mathbb Q$ ak $n\in M$ a $x_n=a_n$ inak.

Nech $W$ je neprázdna nearly open množina. (Chceme ukázať, že $W\cap D\ne\emptyset$.)

Pretože $W\subseteq \sigma(a)$, je jasné že $W=\bigcup W_M^*$, kde zjednotenie prebieha cez všetky konečné množiny $M$. Aby $W$ bola neprázdna, musí pre nejaké konečné $M$ aj $W_M^*$ byť neprázdna. Potom samozrejme aj $W_M$ je neprázdna.

Zoberme si teda ľubovoľné $M$ také, že $W_M\ne\emptyset$. Označme $k=|M|$.
Vieme, že $W_M$ je otvorená v $\mathbb R^k$, čo znamená, že $W_M\subseteq (a_{m_1},b_{m_1})\times(a_{m_2},b_{m_2})\times\dots\times(a_{m_k},b_{m_k})$ pre nejaké netriviálne otvorené intervaly $(a_{m_i},b_{m_i})$.
Pre každé $i=1,2,\dots,k$ môžeme vybrať racionálne číslo $q_{m_i}\in (a_{m_i},b_{m_i})$. Potom samozrejme máme
$$(q_{m_1},q_{m_2},\dots,q_{m_k})\in W_M$$
a priamo z definície množiny $W_M$ vidíme, že postupnosť
$$z_n=
\begin{cases}
q_{m_i}; & m_i\in M, \\
a_n; & n\notin M;
\end{cases}
$$
patrí do $W$. Ukázali sme, že $W\cap D\ne\emptyset$.