msleziak.com

Jedna vec, ktorá ma trápila v súvislosti s vecami z minulého seminára bola takáto.
Definovali sme pojem, kedy je podmnožina $W\subseteq\sigma(a)$ nearly open.
Nebudem tu opakovať všetky definície, dajú sa nájsť v staršom poste a v článkoch k tejto téme.

Pripomeniem len, že tam vystupovala množina $W_M$ (pre konečnú množinu $M$). Táto množina bola definovaná tak, že sme sa pozerali na možné súradnice na indexoch z $M$ také, že ak na ostatných súradniciach použijeme hodnoty z $a$, tak výsledný bod patrí do $W$.
Je jasné, že takto definovaná množina závisí od voľby bodu $a$; budem teda teraz používať označenie $W_M(a)$.

Ten istý S-komponent môže byť definovaný aj iným bodom; ak sa $a$ a $b$ líšia iba na konečne veľa súradniciach (t.j. $a=^*b$), tak evidentne máme $\sigma(a)=\sigma(b)$. A je dosť ľahké nájsť príklady, kedy $W_M(a)\ne W_M(b)$.
Množinu sme nazvali nearly open ak je $W_M(a)$ otvorená pre všetky konečné množiny $M$.
(Na množinu $W_M(a)$ sa pozeráme v priestore $\mathbb R^{|M|}$ s obvyklou Euklidovskou metrikou resp. súčinovou topológiou. Aby som mal jednoduchšie označenie, budem vždy označovať počet prvkov tejto množiny $|M|=m$ a písať priamo $\mathbb R^m$.)

Je teda prirodzené sa pýtať, či ak zmeníme bázový bod, dostaneme tie isté nearly open množiny.

Otázka: Nech platí $\sigma(a)=\sigma(b)$. Dostaneme tie isté nearly open množiny bez ohľadu na to, ktorý z týchto dvoch bázových bodov uvažujeme v definícii?
Inak povedané sú ekvivalentné podmienky: "pre každú konečnú množinu $M$ je množina $W_M(a)$ otvorená" a "pre každú konečnú množinu $M$ je množina $W_M(b)$ otvorená?

Pozitívna odpoveď na túto otázku nás vlastne oprávňuje povedať veci ako "$W$ is nearly open in $\sigma_i$" bez toho, by sme museli špecifikovať ktorého reprezentanta sme vybrali, t.j. bez toho aby sme si zvolili bod $a$ taký, že $\sigma_i=\sigma(a)$.

Dúfam, že som sa nepomýlil, mne sa zdá že by sa malo dať ukázať že to od voľby reprezentanta nezávisí. (Samozrejme, ak tam mám niekde chybu budem rád ak ma niekto opraví - a bude fajn ak buď opravíme dôkaz alebo nájdeme kontrapríklad.)

Predpokladajme, že $W_M(a)$ je otvorená pre všetky konečné množiny $M$. A pokúsme sa to dokázať aj pre $W_M(b)$.

Dôkaz. Označme $R=\{t; a_t \ne b_t\}$ množinu tých súradníc, na ktorých majú $a_t$ a $b_t$ rozdielne hodnoty. (Táto množina je konečná.)

Najprv si všimnime, že ak $R\subseteq M$, tak
$$W_M(a)=W_M(b).$$
("Dopĺňame" súradnice iba mimo množiny $M$, tam sa $a$ a $b$ zhodujú.)
Takže v tomto prípade nie je problém, z otvorenosti $W_M(a)$ okamžite máme aj otvorenosť $W_M(b)$.

Ak teraz máme $R\nsubseteq M$, tak položme $M'=M\cup R$.
Ak sa pozeráme na množinu $M'$, tak $M'\supseteq R$, čo je prípad ktorý sme riešili a teda už vieme, že množina
$$W_{M'}(b)=W_{M'}(a)$$
je otvorená (v priestore $\mathbb R^{m'}$.)

Zoberme si ľubovoľné $x\in W_M(b)$.
Priamo z definície dostaneme, že bod $x'$ ktorý dostaneme tak, že na súradniciach z $M$ má rovnaké hodnoty ako $x$ a inde ho doplníme hodnotami z $b$ patrí do $W_{M'}(b)$. (T.j. bod $x'$ vyzerá tak, že $x'|_M=x|_M$ a $x'|_{M'\setminus M}=b|_{M'\setminus M}$.)
Toto by malo byť vidno z toho, že ak príslušnými súradnicami $b$-čka dopĺňame $x$ alebo $x'$, tak dostaneme presne to isté (v označení z článku $b^x_M=b^{x'}_{M'}$.) A pýtať sa či nejaký bod patrí do $W_M(b)$ resp. $W_M'(b)$ je presne to isté, ako pýtať sa či tento "doplnený" bod patrí do $W$.

Z otvorenosti $W_{M'}(b)$ vieme, že existuje nejaké okolie $U'$ bodu $x'$ také, že $x'\in U'\subseteq W_{M'}(b)$. Pokojne môžeme zobrať priamo bázové okolie, čiže súčin nejakých otvorených intervalov. (Pripomeniem, že pracujeme v konečnorozmernom priestore $\mathbb R^{m'}$.)
Toto bázové okolie nám prirodzeným spôsobom dá nejaké otvorené okolie $U$ bodu $x$, ktoré celé leží v $W_M(b)$. (Vlastne $U$ z $U'$ dostaneme jednoducho tak, že "zahodíme" súradnice $M'\setminus M$; dostaneme takto množinu z $\mathbb R^m$ ktorá je opäť súčinom otvorených intervalov.)
Aby sme videli, že takéto okolie skutočne celé leží vo $W_M(b)$, stačí si len uvedomiť že body z $W_{M'}(b)$ a $W_M(b)$ sa líšia iba tým, že na súradniciach z $M'\setminus M$ sme doplnili hodnoty určené bodom $b$.

Ukázali sme, že každý bod patriaci do $W_M(b)$ má nejaké otvorené okolie v $\mathbb R^m$ ktoré je celé vnútri množiny $W_M(b)$, teda množina $W_M(b)$ je otvorená. $\square$