msleziak.com

Dokážte, alebo nájdite kontrapríklad: Ak vektory $\vec b_1, \vec b_2, \dots, \vec b_n$ (pričom $n>2$) tvoria bázu vektorového priestoru $V$ nad poľom $F$, tak aj vektory $\vec b_1+\vec b_2, \vec b_2+\vec b_3, \dots, \vec b_{n-1}+\vec b_n, \vec b_n+\vec b_1$ tvoria bázu $V$.

Ak to pomôže lepšie vidieť o čom je tento problém, tak je to do istej miery podobná úloha ako povedať niečo o lineárnej nezávislosti riadkov matíc takéhoto tvaru (pre rozmer $n\times n$) - inak povedané, či sú tieto matice regulárne:
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}, \dots,
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 1 & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & & & 1 & 1 \\
1 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$$

Nie je ťažké nájsť kontrapríklady ukazujúce, že tvrdenie vo všeobecnosti neplatí. Ukážeme konkrétne kontrapríklad ktorý funguje pre $F=\mathbb Z_2$ a ľubovoľné $n$. A tiež kontrapríklad ktorý funguje pre párne $n$ pre ľubovoľné pole $F$. (Azda o čosi náročnejšia úloha by bolo dokázať, že toto tvrdenie platí pre $F=\mathbb R$ a nepárny počet vektorov v báze.)

Na písomke by som ako dostatočné riešenie uznal akýkoľvek kontrapríklad (t.j. stačí pre jedno konkrétne $n$ a pre jedno konkrétne pole $F$.)

Označme si: $\vec a_1=\vec b_1+\vec b_2, \vec a_2=\vec b_2+\vec b_3, \dots, \vec a_{n-1}=\vec b_{n-1}+\vec b_n, \vec a_n=\vec b_n+\vec b_1$

Kontrapríklad nad $\mathbb Z_2$
Ak pracujeme nad poľom $\mathbb Z_2$, tak pre ľubovoľný vektor platí $\vec u+\vec u=(1+1)\vec u=\vec0$.
Potom je už vcelku ľahké vidieť, že
\begin{align*}
\vec a_1+\vec a_2 + \dots + \vec a_n&=\\
(\vec b_1+\vec b_2)+(\vec b_2+\vec b_3)+\dots+(\vec b_n+\vec b_1)&=\\
(\vec b_1+\vec b_1)+(\vec b_2+\vec b_2)+\dots+(\vec b_n+\vec b_n)&=\\
\vec0+\vec0+\dots+\vec0&=\vec0
\end{align*}
Vidíme, že vektory $\vec a_1,\vec a_2,\dots,\vec a_n$ sú lineárne závislé.

Ak pomôže pohľad cez matice: Sčítajte riadky zadanej matice - a uvedomte si, že pracujeme nad $\mathbb Z_2$.

Kontrapríklad pre párne $n$
Ak $n=4$, tak máme vektory $\vec a_1=\vec b_1+\vec b_2$, $\vec a_2=\vec b_2+\vec b_3$, $\vec a_3=\vec b_3+\vec b_4$, $\vec a_4=\vec b_4+\vec b_1$.
Pre tieto vektory platí $\vec a_1+\vec a_3=\vec a_2+\vec a_4=\vec b_1+\vec b_2+\vec b_3+\vec b_4$.

Je asi hneď vidno, že podobný kontrapríklad môžeme vytvoriť pre ľubovoľné párne číslo $n$. (A že takéto niečo funguje pre vektorový priestor nad ľubovoľným poľom.)

Opäť, ak sa na to chcete pozrieť cez matice: Sčítajte párne riadky danej matice, sčítajte nepárne riadky danej matice a porovnajte.

Nejaké linky

• If $\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ is a basis, is $\{x_1+x_2,x_2+x_3,\cdots,x_n+x_1\}$ a basis too?