msleziak.com

Poznámka: Matice budem zapisovať vo formáte (a11, a12, a21, a22), kde aij je prvok matice 2x2.

Každú maticu vektorového priestoru 2x2 nad R sme schopní dostať ako lineárnu kombináciu štyroch matíc (1,0,0,0); (0,1,0,0,); (0,0,1,0) a (0,0,0,1). Tieto matice sú navzájom lineárne nezávislé a generujú priestor matíc 2x2 nad R, sú teda bázou tohto priestoru (konkrétne, štandardná báza tohto priestoru). Našou úlohou je zistiť, či zadané matice (1,2,0,4); (2,3,5,0); (3,0,1,2); (0,5,4,2) sú rovnako bázou priestoru matíc 2x2 nad R. Keďže máme zadané 4 matice, a keďže vieme, že štandardná báza testovaného priestoru má 4 vektory, a keďže platí, že každá báza priestoru má rovnaký počet vektorov, potom na to, aby zadané matice mohli byť bázickými vektormi priestoru matíc 2x2 vieme, že všetky musia byť navzájom lineárne nezávislé. Túto vlastnosť matíc otestujeme. Matice vložíme ako vektory do jednej matice a túto maticu ekvivalentnými riadkovými úpravami upravíme:

1 2 0 4
2 3 5 0
3 0 1 2
0 5 4 2

Úpravy matice sú nasledovné:
1. druhý riadok + (-2*(prvý riadok))
2. tretí riadok + (-3*(prvý riadok))

1 2 0 4
0 -1 5 -8
0 -6 1 -10
0 5 4 2

3. -1*(druhý riadok)

1 2 0 4
0 1 -5 8
0 -6 1 -10
0 5 4 2

4. tretí riadok + 6*(druhý riadok)
5. štvrtý riadok + (-5*(druhý riadok))

1 2 0 4
0 1 -5 8
0 0 -29 38
0 0 29 -38

6. tretí riadok + štvrtý riadok
7. prehoď tretí a štvrtý riadok

1 2 0 4
0 1 -5 8
0 0 29 -38
0 0 0 0

Z úpravy matice badáme, že medzi zadanými maticami sú iba 3 lineárne nezávislé matice, resp že set 4 zadaných matíc je lineárne závislý, a preto nemôže byť bázou priestoru matíc 2x2 nad R.

Riešenie je ok, značím si 1 bod.

Poznamenám k tejto úlohe, že asi aj bez počítania sa dá zbadať, že dané matice spĺňajú $A+B=C+D$. Teda sú lineárne závislé.
A aj ak to nezbadáme, tak keď skúsim vyriešiť sústavu na nájdenie koeficientov takých, aby mi lineárna kombinácia dala nulu. (Čo je iná možnosť ako zistiť, či sú vektory lineárne závislé - aj keď pri nej zrátame aj niečo navyše; v tomto prípade však koeficienty vychádzajú pekné čísla.) Pridám linky na staršie riešenia:
viewtopic.php?t=1180
viewtopic.php?t=809
viewtopic.php?t=364

P.S.: Ospravedlňujem sa, že som dlho neodpovedal na úlohy na fóre - budem sa snažiť dostať sa k tomu, ale asi najprv chcem opraviť domáce úlohy a tiež písomku ktorú budem mať dnes z iného predmetu.