msleziak.com

A)
Máme danú maticu

2 c+1 0
2 c+1 2+2c
c -c -c

a máme určiť jej hodnosť v závislosti od parametra c. Hodnosť matice = počet lineárne nezávislých (pre nás) riadkov matice, preto ak chceme určiť hodnosť, musíme maticu najskôr upraviť.

Maticu upravíme použitím ekvivalentných riadkových úprav:
1. (druhý riadok + ((-1)*(prvý riadok)))
2. vymeníme druhý a tretí riadok

2 c+1 0
c -c -c
0 0 2+2c

Nech c je nenulové, potom
3. (druhý riadok)*(1/c)
4. (-1)*(druhý riadok)
5. (2*(druhý riadok) + prvý riadok)

2 c+1 0
0 c+3 2
0 0 2+2c

Maticu máme upravenú. Ako sa bude meniť počet lineárne nezávislých riadkov, a teda hodnosť matice, so zmenou parametra c?

Z predpokladu (c NOT 0), teda
keď (c NOT 0) a zároveň (c NOT -1) a zároveň (c NOT -3), potom hodnosť matice = 3
keď ((c = -1) OR (c = -3)), potom hodnosť matice = 2

Nech (c = 0)

2 c+1 0
c -c -c
0 0 2+2c

potom matica je

2 1 0
0 0 0
0 0 2

teda,
keď (c = 0), potom hodnosť matice = 2.

B)
Prípad B riešime analogicky.

Matica B je potenciálne náročnejšia na úpravu. Naším cieľom bude (opäť) získať čo najjednoduchšiu maticu v stupňovitom tvare tak, aby sme cez
ekvivalentné riadkové, a tentokrát aj stĺpcové úpravy matice odstránili čo najviac výrazov s parametrom, a popritom presúvali členy s parametrom na pre nás výhodnejšie miesta v matici z hľadiska ďalšej úpravy.

Daná matica
2c+1 c -c-1
1 c+1 c+1
2 1 0

Po úprave:

1. vymeň prvý a druhý stĺpec
2. druhý riadok + ((-1)*prvý riadok))

c 2c+1 -c-1
1 -2c 2c+2
1 2 0

3. vymeň prvý a tretí stĺpec
4. druhý riadok + 2*(prvý riadok)

-c-1 2c+1 c
0 2c+2 2c+1
0 2 1

5. prvý riadok + ((-1)*(druhý riadok))

-c-1 -1 -c-1
0 2c+2 2c+1
0 2 1

6. vymeň prvý a tretí stĺpec
7. druhý riadok + prvý riadok

-c-1 -1 -c-1
c 2c+1 -c-1
1 2 0

8. prvý riadok + druhý riadok
9. parameter*(tretí riadok)

-1 2c 0
c 2c+1 -c-1
c 2c 0

10. tretí riadok + ((-1)*(druhý riadok))

-1 2c 0
c 2c+1 -c-1
0 -1 c+1

11. druhý riadok + tretí riadok

-1 2c 0
c 2c 0
0 -1 c+1

12. prvý riadok + ((-1)*(druhý riadok))

-1-c 0 0
c 2c 0
0 -1 c+1

13. vymeň prvý a tretí stĺpec
14. vymeň prvý a tretí riadok

c+1 -1 0
0 2c c
0 0 -1-c

Za predpokladu, že sme sa v našich úpravách nepomýlili, získali sme upravenú maticu:

c+1 -1 0
0 2c c
0 0 -1-c

a môžeme určovať jej hodnosť.

keď (c=0), potom hodnosť matice = 2
keď (c=1), potom hodnosť matice = 2
keď (c NOT 0) a zároveň (c NOT -1), potom hodnosť matice = 3

V podstate ok, je trochu problém s jednou úpravou; vysvetlím nižšie - aj ako by bolo treba riešenie opraviť.
Značím si 1 bod - keďže oprava riešenia nie je ťažká.

Dominika Harmanová wrote: ↑Wed Dec 19, 2018 11:17 pm 7. druhý riadok + prvý riadok

-c-1 -1 -c-1
c 2c+1 -c-1
1 2 0

8. prvý riadok + druhý riadok
9. parameter*(tretí riadok)

-1 2c 0
c 2c+1 -c-1
c 2c 0

Ak sme použili takú úpravu, že sme vynásobili nejaký riadok $c$, tak je to ekvivalentná úprava iba v prípade $c\ne0$.
Čiže na overenie hodnosti pôvodnej matice pre $c=0$ by sme mali dosadzovať do niektorej matice pred týmto krokom - nie do tej čo vyšla na konci. (Dosadzovať do pôvodnej matice je vo všeobecnosti rozumná stratégia - je nejaká pravdepodobnosť, že tak môžeme odhaliť prípadné chyby.)
(Vo všeobecnosti keď použijem nejakú úpravu, ktorá je platná iba pre niektoré hodnoty parametra, tak pre túto konkrétnu hodnotu už matice po tejto úprave nemôžeme použiť.)

Jednotlivé typy úprav:
* Pripočítanie $c$-násobku riadku k inému - je v poriadku pre akékoľvek $c$. (Buď nemeníme nič alebo je to jedna z elementárnych riadkových operácií.)
* Vynásobenie riadku $1/c$ alebo pripočítanie je $1/c$ násobku k inému - je v poriadku pre tie hodnoty, pre ktoré má výraz $1/c$ zmysel.
* Vynásobenie riadku $c$ - toto je v poriadku pre $c\ne0$.
Podobne to je samozrejme aj ak namiesto $c$ je iný výraz s parametrom.
viewtopic.php?t=808
viewtopic.php?t=366