msleziak.com

Téma: Complements for a given Asymptotic Density
Referujúci: V. Baláž; semináre: 20.2., 27.2. a 6.3

Referát je o článku Alan Faisant, Georges Grekos, Ram Krishna Pandey, Sai Teja Somu: Additive Complements for a given Asymptotic Density. https://arxiv.org/abs/1809.07584

Trochu sme pritom odbočili aj k rovnomerne rozdeleným postupnostiam (equidistributed sequences, uniformly distributed sequences). Napríklad sme videli Weylovo kritérium a jeho aplikáciu na zlomkovú časť násobkov iracionálneho čísla. (equidistribution theorem),
(Porozprávať niekedy niečo viac o rovnomerných rozdeleniach postupností je aj jeden z návrhov na možnú tému na ktorú by sme sa mohli niekedy pozrieť na seminári detailnejšie: viewtopic.php?t=1398#p4259 )

Téma: Rôzne typy hustôt
Referujúci: Milan Paštéka; seminár 13.3.

Vlastne boli spomenuté viaceré hustoty z knihy Density and related topics (autor Milan Paštéka; nejaká verzia knihy - aj keď nie finálna - sa dá nájsť online.)

Boli spomenuté napríklad aj niektoré výsledky z:
* R. Alexander: Density and multiplicative structure of sets of integers, Acta Arith. 12, 1967, 321- 332.
* I. Schoenberg: Über die asymptotische Verteilung reeller Zahlen mod 1, Math. Z., 1928, 171–199.

Téma: Poznámky o $\mathcal I_c^{(q)}$-konvergencii
Referujúci: János T. Tóth; seminár 20.3.

Vlastne išlo o tému ktorá nadväzuje na výsledku z článku V. Baláž, J. Gogola, T. Visnyai: $\mathcal I_c^{(q)}$-convergence of arithmetical functions; https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.07.006
Výsledky sa týkajú nových ideálov, ktoré sú definované pomocou exponentu konvergencie $\rho(A)=\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{\log n}{\log a_n}$ (pre množinu $A=\{a_1<a_2<\dots<a_n<\dots\}$.) Pomocou neho sa dajú definovať ideály $\mathcal I(<q)=\{A\subseteq\mathbb N; \rho(A)<q\}$ a $\mathcal I(\le q)=\{A\subseteq\mathbb N; \rho(A) \le q\}$, pre tieto ideály platia viaceré podobné výsledky ako pre $\mathcal I_c^{(q)}$.

János T. Tóth, József Bukor, Ferdinánd Filip, László Zsilinszky: On $\mathcal I(<q)$- and $\mathcal I(\le q)$-convergence of arithmetic functions https://arxiv.org/abs/1907.00363

Téma: Banachova veta o pevnom bode
Referujúci: V. Toma; semináre 27.3, 3.4, 10.4.

Zovšeobecnenie Banachovej vety o pevnom bode na extended metric spaces, t.j. metriky kde pripúšťame, že vzdialenosť mže byť aj nekonečná.
Maher Berzig, Cristina-Olimpia Rus, and Mircea-Dan Rus: Equivalent results to Banach’s contraction principle, Ann. Funct. Anal., Volume 8, Number 4 (2017), 435-445. https://projecteuclid.org/euclid.afa/1495505153