msleziak.com

Prvá písomka na výberovom cviko bola asi pomerne ľahká - bolo treba len vypočítať determinant $4\times4$. V jednotlivých skupinách bol zadaný takýto determinant:
$$
\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix}
\qquad
\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$
Ak si všimneme, že súčet prvých dvoch riadkov je presne rovnaký ako súčet tretieho a štvrtého, tak hneď vidno, že matica je singulárna a teda determinant musí byť nulový.
K rovnakému výsledku sa dostanete aj keď determinant počítate štandardným postupom. (Napríklad cez riadkové či stĺpcové operácie, prípadne skombinované s Laplaceovým rozvojom.)

Chyby ktoré sa vyskytli

Označenie $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 3 & 3 & 3 \\
\end{pmatrix}
$ používame pre riadkovú ekvivalenciu, ak chcem niečo povedať o determinantoch, tak by som mal naozaj použiť znamienko rovnosti a napísať aký je vzťah medzi dvoma číslami, ktoré tam vystupujú, t.j. v tomto prípade $\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 3 & 3 & 3 \\
\end{pmatrix}$.

Takisto treba dávať pozor na to, čo sa deje pri násobení/delení nejakého riadku. Napríklad $\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 3 & 3 & 3 \\
\end{pmatrix}=\frac13\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$ je nesprávne. (Aj keď si viem predstaviť, že vás zvádza tam napísať jednu tretinu, pretože to je číslo ktorým ste vynásobili posledný riadok.)
Správne má byť
$$\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 3 & 3 & 3 \\
\end{pmatrix}=3\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$$

Zadania (a výsledky)

Úlohou bolo vypočítať determinant zadanej matice nad poľom $\mathbb R$:
\begin{gather*}
\det\begin{pmatrix}
1 & 4 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 5 & 1 \\
\end{pmatrix}
=3
\\
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 1 \\
1 &-1 & 4 & 5 \\
-1 & 3 &-2 &-2 \\
\end{pmatrix}
=-2
\\
\det\begin{pmatrix}
2 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 2 & 2 \\
0 &-1 & 1 & 4 \\
\end{pmatrix}
=2
\end{gather*}

Riešenie

V podstate je to štandardný typ príkladu, na ktorý sme sa naučili používať nejaké postupy - buď riadkové (stĺpcové) operácie, alebo Laplaceov rozvoj, prípadne tieto dva postupy kombinovať.

Pre každú skupinu som sem dopísal postup cez riadkové operácie aj cez Laplaceov rozvoj. Pri Laplaceovom rozvoji som si vybral tie riadky/stĺpce, ktoré sa vyskytli v chybne vypočítaných písomkách - aby si to tí z vás, ktorí tam mali chyby, mohli porovnať. (Determinanty $3\times3$ som naschvál rátal nie hneď pomocou Sarrusovho pravidla, ale snažil som sa ešte ich najprv trochu upraviť - niečo o tom píšem nižšie.)

Skupina A: Skupina B: Skupina C: Poznámky

Asi sa mi vás na cviku nepodarilo celkom úspešne presvedčiť, že riadkové (a stĺpcové) úpravy môžu byť efektívnejšie než Laplaceov rozvoj (a možno je pri nich aj menšia pravdepodobnosť pomýliť sa). Samozrejme, uznávam, že to môže byť do istej miery aj vecou osobného vkusu - resp. čo sa človeku ráta lepšie (na čo je viac zvyknutý).

Ale aj tak napíšem, že či už predtým ako použijem Laplaceov rozvoj alebo aj po jeho použití pri výpočte matíc $3\times3$ sa mi môže oplatiť najprv skúsiť urobiť nejakú operáciu - ak si tým viem trochu zjednodušiť život. (Dostať menšie čísla, viac núl.) A až potom začať robiť rozvoj, použiť Sarrusovo pravidlo, atď.

Napríklad asi ľahko vidno, že
$\begin{vmatrix}
1 & 4 & 3 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 3 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix}$,
skoro hneď zbadám riadkovú operáciu ktorou mi vzniknú dve nuly - a nový determinant sa vypočíta o dosť ľahšie ako pôvodný. (Vo všetkých determinantoch $3\times3$, ktoré vyšli pri rozvojoch uvedených vyššie, som sa snažil urobiť nejakú úpravu. Niekde vidno skoro hneď nejakú úpravu čo evidentne niečo zjednoduší - niekde to je tak, že možno by človek musel takéto úpravy hľadať dlhšie a možno to rýchlejšie vypočíta priamo.)

Chyby, ktoré sa vyskytovali

Pripomeniem, že pri Laplaceovom rozvoji treba nezabudnúť pridať aj znamienka. Vyskytujú sa tam sčítance tvaru $(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij})$, t.j. mám tam prvok z matice vynásobený determinantom príslušnej podmatice, ale je tam aj znamienko pochádzajúce z výrazu $(-1)^{i+j}$; teda znamienko ktoré závisí od pozície. Pripomeniem, že znamienka sa ľahko zapamätajú - v rohu (a na diagonále) mám kladné znamienko a potom sa všade striedajú:
$$\begin{array}{cccc}
+ & - & + & - \\
- & + & - & + \\
+ & - & + & - \\
- & + & - & +
\end{array}$$

Aj tento semester sa objavila úloha vyrátať determinant $4\times4$, od predošlých príkladov sa to líši iba číslami, takže nebudem písať všetky riešenia.

Využijem ale príklad zo skupiny B na to, aby som ukázal, že niekedy sa dá využiť pri výpočte determinantu aj vlastnosť o determinantoch troch matíc, ktoré sa líšia iba v jednom riadku, pričom v tomto riadku je súčet riadkov z ostatných dvoch matíc. (V číslovaní z prednášky je to vlastnosť 8.)
Ako som spomínal inde, súvisí to s tým, že determinant je multilineárna funkcia: viewtopic.php?t=1643

Úloha bola nájsť determinant $$\begin{vmatrix}
0 & 2 &-1 &-3 \\
1 & 1 &-2 &-3 \\
1 &-4 &-1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}.$$
Ak použijeme Laplaceov rozvoj podľa prvého stĺpca, tak dostaneme matice, ktoré sa líšia iba v jednom riadku.
\begin{align*}
D&=
\begin{vmatrix}
2 &-1 &-3 \\
1 &-2 &-3 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}-
\begin{vmatrix}
2 &-1 &-3 \\
-4 &-1 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
2 &-1 &-3 \\
1 &-2 &-3 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
2 &-1 &-3 \\
4 & 1 &-1 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
2 &-1 &-3 \\
5 &-1 &-4 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}=-2
\end{align*}

Neušetrili sme tým až tak veľa - ale namiesto dvoch determinantov $3\times3$ nám stačí počítať jeden.

Presne to isté dostaneme ak najprv urobíme jednu riadkovú operáciu - čím dostaneme v prvom stĺpci jediný nenulový prvok - a potom robím rozvoj podľa prvého stĺpca. Ešte využijem aj úlohu zo skupiny C na zopakovanie toho, že sa oplatí používať riadkové/stĺpcové úpravy.
Ak ste použili Laplaceov rozvoj, tak ste potrebovali rátať tri alebo štyri determinanty $3\times3$.
Stačí aby sme si všimli, že prvý a štvrtý riadok majú dva prvky rovnaké, tak stačí urobiť jednu riadkovú operáciu a už máme v jednom riadku dva nulové prvky a bude nám stačiť rátať dva determinanty $3\times3$. (Dali by sa robiť aj ďalšie úpravy - aby sme dostali menšie čísla alebo viac núl - ale už pri tejto jednej úprave sme ušetrili aspoň jeden determinant $3\times3$.)
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 &-1 &-3 \\
2 & 3 &-1 &-4 \\
3 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
0 & 0 &-1 &-4 \\
1 & 1 & 0 &-1 \\
3 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}$$
Pre porovnanie, ako by vyzeral výpočet toho istého determinantu, ak by sme robili Laplaceov rozvoj podľa posledného riadku: