msleziak.com

Jedna z častí v d.ú. 7 http://msleziak.com/vyuka/2018/temno/du07.pdf bola$\newcommand{\Obr}[2]{{#1}[{#2}]}\newcommand{\Invobr}[2]{{#1}^{-1}[{#2}]}\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Nech $f\colon X\to Y$ je zobrazenie. Dokážte: $f$ je injekcia práve vtedy, keď pre ľubovoľné $A\subseteq X$ platí $A=\Invobr f{\Obr fA}$.

Pripomínam, že označenie $\Invobr fB$ označuje vzor množiny $B$ v zobrazení $f$ (a nie obraz množiny $B$ v~inverznom zobrazení $\inv f$).

Táto istá úloha je vyriešená aj tu: viewtopic.php?t=1259
Na fóre sú aj komentáre k nejakému študentskému riešeniu: viewtopic.php?t=1260

Implikácia $\boxed{\Rightarrow}$
Chceme ukázať, že pre injektívne zobrazenie vždy platí rovnosť $A=\Invobr f{\Obr fA}$.
Podobne ako vo veľa iných prípadoch ukážeme zvlášť jednu inklúziu a zvlášť druhú. Súčasne si pri tom skúsime dať pozor, kde sme používali injektívnosť - vďaka tomu pri riešení vlastne zistíme, že jedna z inklúzii platí ore ľubovoľné zobrazenie. (Pri druhej z nich bude treba injektívnosť.)

$A\subseteq \Invobr f{\Obr fA}$:
Nech $a\in A$. Chceme overiť, či $a\in \Invobr f{\Obr fA}$. Podľa definície vzoru je podmienka $a\in\Invobr f{\Obr fA}$ ekvivalentná s podmienkou $f(a)\in\Obr fA$. Platnosť tejto podmienky vyplýva ale priamo z definície $\Obr fA$.
(Všimnime si, že tu sme nikde nepotrebovali injektívnosť.)

$\Invobr f{\Obr fA} \subseteq A$:
Nech $x\in \Invobr f{\Obr fA}$. To znamená, že $f(x)\in\Obr fA$.
Z definície $\Obr fA$ potom dostaneme, že existuje $a\in A$ také, že $f(a)=f(x)$.
Z injektívnosti zobrazenia $f$ potom dostanem, že $a=x$.
Z toho už vidíme, že $x\in A$.

Tým sme vlastne dokázali platnosť oboch inklúzií. Tiež sme si všimli, že injektívnosť sme použili v dôkaze druhej z nich. Ak by sme chceli ukázať nejaký kontrapríklad ukazujúci, že rovnosť vo všeobecnosti neplatí, tak nám môže pomôcť pozrieť sa na dôkaz tejto časti a zamyslieť sa nad tým, kde dôkaz môže zhavarovať ak máme zobrazenie, ktoré nie je injektívne.
Vlastne v dôkaze opačnej implikácie ide presne o to, že chceme nejako zdôvodniť že pre hocijaké neinjektívne zobrazenie existuje vhodná podmnožina $A$ pre ktorú už neplatí rovnosť.

Implikácia $\boxed{\Leftarrow}$
Nepriamo. Nech $f\colon X\to Y$ nie je injektívne.
To znamená, že existujú nejaké body $x_{1,2}\in X$ také, že $x_1\ne x_2$ a súčasne $f(x_1)=f(x_2)$.
Zvoľme si $A=\{x_1\}$. Pre túto množinu platí $\Obr fA=\{f(x_1)\}$.
Súčasne vidíme, že $x_2 \in \Invobr f{\Obr fA}$ a pritom $x_2\notin A$,
Teda platí $A\ne\Invobr f{\Obr fA}$.
Tým je dokončený dôkaz tejto implikácie. (Zdôvodnili sme obmenu implikácie uvedenej v zadaní.)

Ak to pomôže, skúste si nakresliť k tejto časti aj obrázok.

Podobne ako v minulosti, aj teraz sa v niektorých odovzdaných d.ú. vyskytovalo niečo také, že ak máme $f(x)=y$, tak ste na základe toho tvrdili, že môžete napísať $f^{-1}(y)=x$.
My však v zadaní nemáme, že $f$ je bijekcia. Teda nevieme, či inverzené zobrazenie $f^{-1}$ existuje - a nemôžeme teda ho ani používať.
Práve preto som priamo v zadaní domácej úlohy zdôraznil, že symbolom $f^{-1}[ B ]$ sa myslí vzor množiny $B$ v zobrazení $f$.