Násobenie regulárnou maticou nemení hodnosť

[Martin Sleziak]

Ak matice $A$, $B$, $C$ sú takých rozmerov, že uvedené súčiny existujú a navyše $B$, $C$ sú regulárne, tak platí $$h(BA)=A \qquad{\text{a}}\qquad h(AC)=A.$$
Stručne: Násobenie regulárnou maticou (či už zľava alebo sprava) nemení hodnosť.

Napíšem tu aspoň stručné hinty, ktoré môžu pomôcť k tomu aby ste tieto veci odvodili.
Ako prvé si môžete rozmyslieť, že ak dokážem jednu z uvdených rovností, tak z nej vyplýva aj druhá.

Spoiler:

Čo sa stane ak takúto rovnosť stransponujem?

Dalo by sa využiť to, čo vieme o súvise hodnosti a dimenzii priestoru riešení príslušnej homogénnej sústavy.

Spoiler:

Skúste ukázať, že $A\vec x^T=\vec 0$ $\Leftrightarrow$ $BA\vec x^T=\vec 0$.
Potom porovnajte dimenzie priestorov riešení týchto dvoch sústav.

Dalo by sa využiť to, čo vieme o dimenzii jadra lineárneho zobrazenia.

Spoiler:

Ukážte, že $\vec x A=\vec 0$ $\Leftrightarrow$ $\vec x AC=\vec 0$.
Čo nám to hovorí o jadrách príslušných zobrazení? Čo z toho dostaneme pre hodnosť týchto matíc.

Ešte sa dá pozrieť na to, čo vynásobenie maticou sprava urobí s riadkami matice.

Spoiler:

$\begin{pmatrix}\vec a_1\\\vec a_2\\\vdots\\\vec a_n\end{pmatrix}C=\begin{pmatrix}\vec a_1C\\\vec a_2C\\\vdots\\\vec a_nC\end{pmatrix}$
Ak $C$ je regulárna, vieme ukázať, že $[\vec a_1,\vec a_2,\dots,\vec a_n]$ a $[\vec a_1C,\vec a_2C,\dots,\vec a_nC]$ majú rovnakú dimenziu? Ako súvisia tieto dva podpriestory?

[Martin Sleziak]

Ak už sme predtým dokázali, že $h(XY)\le h(X)$ aj $h(XY)\le h(Y)$ platí pre ľubovoľné matice, ktoré sa dajú násobiť dalo by sa to použiť aj tu.
Na tieto nerovnosti nepotrebujeme, žiadny predpoklad o maticiach $AB$, iba to že majú také rozmery, aby sa dali násobiť. Niečo k dôkazu sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=828

Ak vieme tieto nerovnosti, tak máme "zadarmo" $h(BA)\le h(A)$.
Vedeli by ste, ak je navyše $B$ regulárna, dostať aj opačnú nerovnosť?

Hint:

Spoiler:

Skúste vhodne prepísať $A$ ako súčin.

Riešenie:

Spoiler:

Máme $A=BA(A^{-1})$, teda $h(A)\le h(BA)$.

Dá sa však povedať, že týmto prístupom sme až tak veľmi neušetrili - v tom zmysle, že v dôkaze nerovností ktoré používame sa pravdepodobne vyskytnú veľmi podobné argumenty ako budeme používať pri riešení otázky čo sa stane s hodnosťou po vynásobení regulárnou maticou.