msleziak.com

Zadanie$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}$

Majme zadané priamky $p=\{(1+t,1+2t,1,1+t); t\in\mathbb R\}$ a $q=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; x_1+x_2-3x_4=3, x_1+x_3-x_4=3, x_2+x_3-2x_4=2\}$. Nájdite ich vzdialenosť $\rho(p,q)$.

Riešenie
Všeobecné vyjadrenie pre $q$ môžeme upraviť na redukovaný stupňovitý tvar - tak sa nám ľahšie zistí, aká je vektorová zložka. Dostaneme $\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 0 &-3 & 3 \\
1 & 0 & 1 &-1 & 3 \\
0 & 1 & 1 &-2 & 2
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 &-1 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)$

Vidíme, že $V_p=V_q=[(1,2,0,1)]$, sú to rovnobežné priamky.

Jedna z nich je určená bodom $A=(1,1,1,1)$, druhá bodom $B=(2,1,1,0)$.

Vektor $\vekt{AB}=(1,0,0,-1)$ je kolmý na smerový vektor priamky, takže vlastne vzdialenosť je presne dĺžka tohoto vektora, t.j. $\abs{\vekt{AB}}=\sqrt2$.\\

Chyby, ktoré sa vyskytli

Ak vyrátate maticu projekcie na nejaký podpriestor, tak ňou chcete vynásobiť vhodný vektor, napríklad vektor $\vekt{AB}$. Násobiť takouto maticou bod nedáva veľmi zmysel. (Azda s výnimkou prípadov, kedy by jeden zo zadaných podpriestorov obsahoval nulu.)

Iný príklad na vzdialenosť rovnobežných podpriestorov (priamka a rovina) sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=1051

Aj keď sa v tomto prípade vzdialenosť dala vyrátať ľahko, stále sa možno oplatí pozrieť na to, ako by sme ju mohli rátať ak si nevšimneme, že nám vyšiel priamo kolmý vektor.$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}$

Kolmopremietací priestor

Keďže ide o rovnobežné priamky, stačí nám rátať vzdialenosť niektorého (ľubovoľného) bodu z $A$ od priamky $q$. Vzdialenosť $A$ od $q$ by sme mohli rátať cez kolmopremietací priestor a nájdenie kolmého priemetu $A^\bot$. Priestor $\pi^\bot_q(A)$ je nadrovina prechádzajúca cez $A$ s normálovým vektorom $(1,2,0,1)$, čiže ide o nadrovinu s rovnicou $x_1+2x_2+x_4=4$. Ak túto rovnicu pridáme k rovniciam určujúcim $q$, dostaneme sústavu ktorou sa dá vyrátať prienik $\pi^\bot_q(A)\cap q$, čo je presne bod $A^\bot$.
Riešením sústavy dostaneme, že $A^\bot=(2,1,1,0)$, teda $\rho(p,q)=\rho(A,q)=\rho(A,A^\bot)=\sqrt2$. Ortogonálna projekcia

Zoberme si bod $A$ patriaci do $p$ a bod $C=(3,3,1,1)$, ktorý patrí do $q$.
Vzdialenosť je vlastne dĺžka kolmého priemetu vektor $\vekt{AC}=(2,2,0,0)$ do $V_p^\bot$. Pretože $V_p$ je jednorozmerný, ľahko sa vyráta priemet tohoto vektora do $V_p$. Konkrétne si stačí zobrať jednotkový vektor $\vec u=\frac1{\sqrt6}(1,2,0,1)$ v smere $V_p$. Skalárny súčin $\langle\vekt{AC},\vec u\rangle=\sqrt6$ nám určí, že priemet je $\sqrt6\cdot\vec u=(1,2,0,1)$.
$$(2,2,0,0)=\underset{\in V_p}{\underbrace{(1,2,0,1)}}+\underset{\in V_p^\bot}{\underbrace{(1,0,0,-1)}}.$$
Priemet do $V_p^\bot$ je $(1,0,0-1)$, dĺžka tohoto vektora je $\sqrt2$.

Normálovo kolmé nadroviny

Keďže sme spomenuli tento týždeň na cvičení v súvislosti s jedným príkladom normálovo kolmé nadroviny a ich použitie na výpočet vzdialesnosti, môžeme sa na ne pozrieť aj v tomto príklade.
Nejaké iné úlohy na vzdialenosti vypočítané takýmto spôsobom: viewtopic.php?t=623 a viewtopic.php?t=1051

V našej úlohe počítame vzdialenosť bodu $A=(1,1,1,1)$ od priamky $q$ zadanej ako prienik troch nadrovín:
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 0 &-3 & 3 \\
1 & 0 & 1 &-1 & 3 \\
0 & 1 & 1 &-2 & 2
\end{array}\right)$$
Ak by sme použili vzdialenosti od týchto nadrovín, tak z nich nedostaneme správny výsledok:
\begin{gather*}
\frac{\abs{1+1-3-3}}{\sqrt{1^2+1^2+3^2}}=\frac{4}{\sqrt{11}}\\
\frac{\abs{1+1-1-3}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac2{\sqrt3}\\
\frac{\abs{1+1-2-2}}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac2{\sqrt6}\\
\sqrt{\frac4{11}+\frac43+\frac23}=\sqrt{\frac{25}{11}} = \frac5{\sqrt{11}}
\end{gather*}

Nadroviny, ktoré sme dostali po úprave nie sú normálovo kolmé.
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 &-1 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)$$
Opäť uvedený postup nevedie k správnemu výsledku:
\begin{gather*}
\frac{\abs{1-1-2}}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2\\
\frac{\abs{1-2-1}}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac2{\sqrt5}\\
\frac{\abs{1-1}}{\sqrt{1^2}}=0\\
\sqrt{2+\frac45}=\sqrt{\frac{12}5}=2\sqrt{\frac35}
\end{gather*}

Môžeme však dostať aj normálovo kolmé nadroviny určujúce tú istú priamku:
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 &-1 & 2 \\
1 &-1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)$$
Vzdialenosť teraz už vyjde správne
\begin{gather*}
\frac{\abs{1-1-2}}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt2\\
\frac{\abs{1-1+1-1}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=0\\
\frac{\abs{1-1}}{\sqrt{1^2}}=0\\
\sqrt{2+0+0}=\sqrt2
\end{gather*}

Skúsme ešte nejaký iný príklad - tento predošlý prípad bol veľmi jednoduchý, lebo iba jediná zo zadaných nadrovín neprechádzala bodom $A$.
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
5 &-2 & 0 &-1 & 8 \\
0 & 1 & 0 &-2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)$$
\begin{gather*}
\frac{\abs{5-2-1-8}}{\sqrt{5^2+2^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt{30}}=\sqrt{\frac65}\\
\frac{\abs{1-2-1}}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac2{\sqrt5}\\
\frac{\abs{1-1}}{\sqrt{1^2}}=0\\
\sqrt{\left(\sqrt{\frac65}\right)^2+\left(\frac2{\sqrt5}\right)^2+0^2}=\sqrt{\frac65+\frac45}=\sqrt2
\end{gather*}