msleziak.com

Pre dané body $A, B\in\mathbb R^4$ uvažujme $\mathcal B=\{X\in\mathbb R^4; AX\perp AB\}$. Nájdite všeobecné a parametrické vyjadrenie pre $\mathcal B$. (Fakt, že $\mathcal B$ tvorí afinný podpriestor nemusíte zdôvodňovať --- to berte ako súčasť zadania. Pracujeme so štandardným skalárnym súčinom na $\mathbb R^4$.)\\
$A=(1,2,0,3)$, $B=(0,1,1,2)$.

Riešenie

Podmienka, že $\overrightarrow{AX}$ a $\overrightarrow{AB}$ majú byť na seba kolmé nám vlastne hovorí to, že $X$ patrí do nadroviny prechádzajúcej bodom $A$ takej, že normálový vektor je $\overrightarrow{AB}$.

Pre zadané body máme $\overrightarrow{AB}=(-1,-1,1,-1)$. Teda nadrovina je kolmá na vektor $\vec n = (1,1,-1,1)$. (Vybral som si $\vec n=-\overrightarrow{AB}$, len aby sa mi pohodlnejšie počítalo, mám tam menej záporných čísel.) Vidím, že všeobecná rovnica je $x_1+x_2-x_3+x_4=c$, pričom konštantu $c$ dopočítam tak, že dosadím nejaký bod o ktorom viem že patrí do $\mathcal B$; najjednoduchšie je zobrať priamo bod $A$. Dostanem tak
$$x_1+x_2-x_3+x_4=6.$$

Môžeme si všimnúť, že presne to isté (aj keď pri trochu dlhšom výpočte) by ste dostali ak by ste si napísali podmienku, že $\langle \overrightarrow{AX}, \overrightarrow{AB} \rangle=0$. Úpravou dostanete
$$\langle \overrightarrow{AX}, \overrightarrow{AB} \rangle= -(x_1-1)-(x_2-2)+x_3-(x_4-3)=6-x_1-x_2+x_3-x_4.$$

Dostali sme všeobecné vyjadrenie. (V tomto prípade máme len jednu rovnicu - teda je určené až na násobok jednoznačne.)

Nájsť parametrické vyjadrenie vlastne znamená iba zapísať parametricky riešenia tejto sústavy, ktorá obsahuje iba jednu rovnicu. Tam máme veľa možností.
$$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & -1 & 1 & 6
\end{array}\right)
$$
Ak si napríklad volíme za parametre premenné $x_2$, $x_3$, $x_4$, tak zistíme že vektorová zložka je $V=[(-1,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1)]$ a dostaneme všeobecné vyjadrenie $X=(1,2,0,3)+s(-1,1,0,0)+t(1,0,1,0)+u(-1,0,0,1)$, t.j.
\begin{align*}
x_1&=1-s+t-u\\
x_2&=2+s\\
x_3&=t\\
x_4&=3+u
\end{align*}
V závislosti od toho čo si zvolíme za parametre, máme veľa ďalších možností ako tú istú nadrovinu môžeme vyjadriť parametricky.

Chyby, ktoré sa vyskytli v riešeniach

Ak už som našiel všeobecné vyjadrenie roviny a vidím, že mám jednu rovnicu, tak by mi malo byť jasné že parametrické vyjadrenie bude mať tri parametre. (Všeobecne $n-h(A)$, počet neznámych mínus počet lineárne nezávislých rovníc. Napriek tomu, že v minulom aj v tomto semestri sme prerátali pomerne veľa sústav, stále je u niektorých z vás problém s takouto vecou.)

Niektorí ste zobrali súradnice bodov $A=(1,2,0,3)$, $B=(0,1,1,2)$ a počítali ste s nimi ako keby to boli vektory. (Robili ste riadkové úpravy alebo hľadali čo je na ne kolmé.) Je dosť dôležité uvedomiť si rozdiel medzi bodmi a vektormi a tiež to ktoré operácie má zmysel robiť s bodmi a ktoré s vektormi.