Prémiové úlohy
Posted: Mon Apr 29, 2019 6:59 am
V tomto vlákne budú zadania úloh, za ktorých vyriešenie na fóre môžete získať body navyše (max. 5). Za správne vyriešenie úlohy dostanete 1 bod.
Ak niekto zverejní riešenie úlohy, ktoré nebude správne, znamená to, že daná úloha je rezervovaná pre dotyčného riešiteľa dovtedy, kým jeho riešenie nebude správne, alebo kým úlohu nevzdá.
Úloha 1.2. Nech $(G,\cdot)$ je grupa. Pre ľubovoľné podmnožiny $A,B\subseteq G$ definujeme
$$A\cdot B=\{a\cdot b; a,b\in G\}.$$
Dokážte: Ak $H$ je podgrupa grupy $(G,\cdot)$ tak $H^2=H\cdot H = H$.
Úloha 1.5.* Nech $G$ je grupa a $a,b\in G$. Nech pre tieto prvky platia rovnosti $aba=ba^2b$, $a^3=e$ a pre nejaké $n\in\mathbb N$ platí $b^{2n-1}=e$. Dokážte, že $b=e$.
(Hint vedeli by ste ukázať $ab^2=b^2a$? Dá sa to ďalej použiť na dôkaz, že pre tieto prvky platí $ab=ba$?)
Úloha 1.6. Budeme pracovať v~grupe $(\mathbb R,+)$.
a) Dokážte, že $[\{2,3\}]=\mathbb Z$;
b) Dokážte, že $[\{1,\sqrt2\}]=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Z\}$.
c${}^*$) Je možné podgrupu $[\{1,\sqrt2\}]$ generovať jediným prvkom? (V terminológii, ktorú na prednáške ešte len zavedieme sa dá táto otázka sformulovať takto: Je podgrupa $[\{1,\sqrt2\}]$ cyklická?)
Úloha 2.2. Nech $A$, $B$ sú podgrupy grupy $G$. Dokážte, že $AB$ je podgrupa $G$ práve vtedy, keď $AB=BA$.
Úloha 2.4. Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $\mathbb R$. Je aj každá podgrupa grupy $(V,+)$ podpriestorom priestoru $V$? Ako je to s vektorovými priestormi nad poľom $\mathbb Z_p$?
Úloha 2.6. Ukážte, že ak $G$ je grupa a $a\in G$, tak zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(x)=axa^{-1}$ je izomorfizmus.
Úloha 3.1. Nech $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\Zobr gG{G'}$ a $\Zobr h{H}{H'}$ sú homomorfizmy grúp. Potom aj zobrazenie $\Zobr f{G\times H}{G'\times H'}$ dané predpisom $f(x,y)=(g(x),h(y))$ je homomorfizmus. Ak $g$ a $h$ sú izomorfizmy (surjektívne homomorfizmy/injektívne homomorfizmy), tak $f$ je izomorfizmus (surjektívny homomorfizmus/injektívny homomorfizmus).
Úloha 3.7. Nech $(G,*)$ je ľubovoľná grupa. Dokážte, že zobrazenie $g\mapsto g*g$ je homomorfizmus z $G$ do $G$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna.
Úloha 4.1. Ak počet inverzií permutácie $\newcommand{\permn}[3]{\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & n \\ #1 & #2 & \ldots & #3\end{pmatrix}}\permn {a_1}{a_2}{a_n}$ je $k$, zistite počet inverzií permutácie $\permn {a_n}{a_{n-1}}{a_1}$.
Úloha 4.2. Dokážte, že alternujúca grupa $A_n$ je generovaná:
a) Množinou všetkých cyklov $(ijk)$ dĺžky 3.
b) Množinou cyklov dĺžky 3 tvaru $(123), (124), \ldots, (12n)$.
Úloha 4.3. Koľko permutácií z grupy $S_n$ má rád 2? (Inak povedané: Aký je počet prvkov alternujúcej grupy $A_n$?)
Úloha 4.4. Zistite, či pre ľubovoľnú podmnožinu $A$ grupy $G$ platí $AA^{-1}=A^{-1}A$. Svoje tvrdenie zdôvodnite.
Úloha 4.5. Vieme, že ak $H\triangleleft G$ ($H$ je normálna podgrupa grupy $G$), tak predpis
$$(aH)\cdot(bH)=(ab)H$$
dobre definuje binárnu operáciu na množine ľavých tried rozkladu $G$ podľa $H$. Ukážte, že platí aj opačná implikácia: Ak uvedený predpis dobre definuje binárnu operáciu, tak $H\triangleleft G$. (Teda invariantnosť podgrupy $H$ je nielen postačujúca ale aj nutná podmienka na to, aby táto binárna operácia bola dobre definovaná.)
Úloha 5.1. Nech $H$ je podgrupa grupy $G$ a $[G:H]=n$.
a) Ukážte, že ak $H$ je normálna podgrupa, tak pre každé $x\in G$ platí $x^n\in H$.
b) Platí toto tvrdenie pre ľubovoľnú podgrupu (t.j. aj bez predpokladu, že $H$ je normálna)?
Úloha 5.2. Nech $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}G=(\Z\times\Z,+)$ a $H=2\Z\times3\Z$. Je $H$ normálna podgrupa grupy $G$? S akou grupou je izomorfná grupa $G/H$?
Úloha 5.4. Dokážte, že ak $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\Zobr fGH$ je surjektívny homomorfizmus grúp, tak ľavý (pravý) rozklad grupy $G$ podľa normálnej podgrupy $\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\Ker f$ pozostáva presne z množín $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\inv f(x)=\{g\in G; f(g)=x\}$ pre $x\in H$.
Ak niekto zverejní riešenie úlohy, ktoré nebude správne, znamená to, že daná úloha je rezervovaná pre dotyčného riešiteľa dovtedy, kým jeho riešenie nebude správne, alebo kým úlohu nevzdá.
Úloha 1.2. Nech $(G,\cdot)$ je grupa. Pre ľubovoľné podmnožiny $A,B\subseteq G$ definujeme
$$A\cdot B=\{a\cdot b; a,b\in G\}.$$
Dokážte: Ak $H$ je podgrupa grupy $(G,\cdot)$ tak $H^2=H\cdot H = H$.
Úloha 1.5.* Nech $G$ je grupa a $a,b\in G$. Nech pre tieto prvky platia rovnosti $aba=ba^2b$, $a^3=e$ a pre nejaké $n\in\mathbb N$ platí $b^{2n-1}=e$. Dokážte, že $b=e$.
(Hint vedeli by ste ukázať $ab^2=b^2a$? Dá sa to ďalej použiť na dôkaz, že pre tieto prvky platí $ab=ba$?)
Úloha 1.6. Budeme pracovať v~grupe $(\mathbb R,+)$.
a) Dokážte, že $[\{2,3\}]=\mathbb Z$;
b) Dokážte, že $[\{1,\sqrt2\}]=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Z\}$.
c${}^*$) Je možné podgrupu $[\{1,\sqrt2\}]$ generovať jediným prvkom? (V terminológii, ktorú na prednáške ešte len zavedieme sa dá táto otázka sformulovať takto: Je podgrupa $[\{1,\sqrt2\}]$ cyklická?)
Úloha 2.2. Nech $A$, $B$ sú podgrupy grupy $G$. Dokážte, že $AB$ je podgrupa $G$ práve vtedy, keď $AB=BA$.
Úloha 2.4. Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $\mathbb R$. Je aj každá podgrupa grupy $(V,+)$ podpriestorom priestoru $V$? Ako je to s vektorovými priestormi nad poľom $\mathbb Z_p$?
Úloha 2.6. Ukážte, že ak $G$ je grupa a $a\in G$, tak zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(x)=axa^{-1}$ je izomorfizmus.
Úloha 3.1. Nech $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\Zobr gG{G'}$ a $\Zobr h{H}{H'}$ sú homomorfizmy grúp. Potom aj zobrazenie $\Zobr f{G\times H}{G'\times H'}$ dané predpisom $f(x,y)=(g(x),h(y))$ je homomorfizmus. Ak $g$ a $h$ sú izomorfizmy (surjektívne homomorfizmy/injektívne homomorfizmy), tak $f$ je izomorfizmus (surjektívny homomorfizmus/injektívny homomorfizmus).
Úloha 3.7. Nech $(G,*)$ je ľubovoľná grupa. Dokážte, že zobrazenie $g\mapsto g*g$ je homomorfizmus z $G$ do $G$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna.
Úloha 4.1. Ak počet inverzií permutácie $\newcommand{\permn}[3]{\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & n \\ #1 & #2 & \ldots & #3\end{pmatrix}}\permn {a_1}{a_2}{a_n}$ je $k$, zistite počet inverzií permutácie $\permn {a_n}{a_{n-1}}{a_1}$.
Úloha 4.2. Dokážte, že alternujúca grupa $A_n$ je generovaná:
a) Množinou všetkých cyklov $(ijk)$ dĺžky 3.
b) Množinou cyklov dĺžky 3 tvaru $(123), (124), \ldots, (12n)$.
Úloha 4.3. Koľko permutácií z grupy $S_n$ má rád 2? (Inak povedané: Aký je počet prvkov alternujúcej grupy $A_n$?)
Úloha 4.4. Zistite, či pre ľubovoľnú podmnožinu $A$ grupy $G$ platí $AA^{-1}=A^{-1}A$. Svoje tvrdenie zdôvodnite.
Úloha 4.5. Vieme, že ak $H\triangleleft G$ ($H$ je normálna podgrupa grupy $G$), tak predpis
$$(aH)\cdot(bH)=(ab)H$$
dobre definuje binárnu operáciu na množine ľavých tried rozkladu $G$ podľa $H$. Ukážte, že platí aj opačná implikácia: Ak uvedený predpis dobre definuje binárnu operáciu, tak $H\triangleleft G$. (Teda invariantnosť podgrupy $H$ je nielen postačujúca ale aj nutná podmienka na to, aby táto binárna operácia bola dobre definovaná.)
Úloha 5.1. Nech $H$ je podgrupa grupy $G$ a $[G:H]=n$.
a) Ukážte, že ak $H$ je normálna podgrupa, tak pre každé $x\in G$ platí $x^n\in H$.
b) Platí toto tvrdenie pre ľubovoľnú podgrupu (t.j. aj bez predpokladu, že $H$ je normálna)?
Úloha 5.2. Nech $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}G=(\Z\times\Z,+)$ a $H=2\Z\times3\Z$. Je $H$ normálna podgrupa grupy $G$? S akou grupou je izomorfná grupa $G/H$?
Úloha 5.4. Dokážte, že ak $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\Zobr fGH$ je surjektívny homomorfizmus grúp, tak ľavý (pravý) rozklad grupy $G$ podľa normálnej podgrupy $\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\Ker f$ pozostáva presne z množín $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\inv f(x)=\{g\in G; f(g)=x\}$ pre $x\in H$.