msleziak.com

Ak viete, že pre maticu $A\in M_{4,4}(\mathbb C)$ platí $\chi_A(x)=x^4+4x^3+4x^2$, nájdite charakteristický polynóm matice $(A+I)^2$.

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Všimnime si, že zadaný polynóm je $\chi_A(x)=x^2(x^2+4x+4)=x^2(x+2)^2$.

Môžeme skúsiť postupne nájsť charakteristické polynómy pre $B=A+I$ a $C=B^2=(A+I)^2$.

Úpravami charakteristického polynómu.
Pre $B=A+I$ máme $\chi_B(x)=\chi_A(x-1)=x^4-2x^2+1$. Vidíme, že $B^4-2B^2-I=0$, teda $(C-I)^2=C^2-2C+I=0$. Dostávame, že polynóm $(x-1)^2$ nuluje $C$, a teda minimálny polynóm matice $C$ musí byť $x-1$ alebo $(x-1)^2$. Jediné vlastné číslo je teda $1$ a charakteristický polynóm je $\chi_C(x)=(x-1)^4$.

Cez Jordanov tvar.
Ak $A=PJ\inv P$, tak máme $B=A+I=P(J+I)\inv P$ a $C=B^2=P(J+I)^2\inv P$, takže nám stačí nájsť charakteristický polynóm pre $(J+I)^2$. Máme
$$J=
\begin{pmatrix}
-2 & * & 0 & 0 \\
0 &-2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & * \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
J+I=
\begin{pmatrix}
-1 & * & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & * \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\qquad
(J+I)^2=
\begin{pmatrix}
1 & * & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & * \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
Teda $\chi_C(x)=(x-1)^4$.
(Na miestach označenými hviezdičkami môžu byť nuly alebo nenulové prvky - nech tam je čokoľvek, neovplyvní to ako vyzerá charakteristický polynóm.)