Jednoduchým zovšeobecnením tejto úlohy je: Ak $p(x)$ je polynóm taký, že $p(A)=0$ a $\lambda$ je vlastné číslo matica $A$, tak $p(\lambda)=0$.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Skupina A: Dokážte, že ak pre maticu $A\in M_{n,n}(\mathbb C)$ platí $A^2=A$ a $\lambda$ je vlastné číslo matice $A$, tak $\lambda\in\{0,1\}$.
Skupina B: Dokážte, že ak pre maticu $A\in M_{n,n}(\mathbb C)$ platí $A^2=I$ a $\lambda$ je vlastné číslo matice $A$, tak $\lambda\in\{\pm1\}$.
Pre $p(x)=x^2-x$ dostaneme tvrdenie zo skupiny A, pre $p(x)=x^2-1$ dostaneme tvrdenie zo skupiny B.
Riešenie
Najjednoduchší postup je asi vychádzať priamo z definície.
Ak $\lambda$ je vlastné číslo, tak existuje nenulový vektor $\vec x$ taký, že $\vec xA=\lambda \vec x$.
V skupine A potom dostaneme:
$\vec x A^2=(\vec xA)A = \lambda \vec x A = \lambda^2 \vec x$.
Súčasne máme $\vec x A^2=\vec x A=\lambda \vec x$.
Porovnaním týchto rovností máme $$\lambda \vec x=\lambda^2 \vec x.$$
Pretože táto rovnosť platí pre nenulový vektor $\vec x$, dostaneme že $\lambda=\lambda^2$.
V skupine B môžeme postupovať podobne, tentokrát ale dostaneme $\lambda^2\vec x=\vec x$ a $\lambda^2=1$.
Ak by sme chceli dokázať spomenuté zovšeobecnenie, tak najprv indukciou odvodíme že $\vec xA^k=\lambda^k\vec x$ a z toho dostaneme
$$\vec x p(A) = p(\lambda) \vec x.$$
Ak $p(A)=0$, tak dostávame $p(\lambda) \vec x=\vec 0$ pre nenulový vektor $\vec x$, z čoho vyplýva $p(\lambda)=0$.
Iné riešenia
Tá istá úloha sa dala riešiť veľa inými spôsobmi. Niektoré budem vedieť zapísať stručnejšie, keď použijem označenie $p(x)$ pre polynóm, ktorý nuluje danú maticu. (T.j. pre $p(x)=x^2-x$ dostanem možnosť ako to riešiť v skupine A, pre $p(x)=x^2-1$ skupinu B.)
Násobok minimálneho polynómu. Ak $p(A)=0$, tak polynóm $p(x)$ je násobok minimálneho polynómu $m_A(x)$. To znamená, že medzi koreňmi $m_A(x)$ sa vyskytnú iba korene polynómu $p(x)$. Súčasne vieme, že každé vlastné číslo je koreňom minimálneho polynómu - teda spolu dostávame, že vlastné čísla musia byť korene polynómu $p(x)$.
(Dve tvrdenia, ktoré sme tu použili, by si zaslúžili detailnejšie zdôvodnenie - pre prvé z nich ste asi niečo počuli aj na prednáške: 1. Polynómy, ktoré nulujú danú maticu, sú presne násobky jej minimálneho polynómu. 2. Každé vlastné číslo je koreňom minimálneho polynómu.)
Jordanov tvar spĺňa tú istú rovnicu. Ak máme $A=PJ\inv P$, tak aj $A^k=PJ^k\inv P$ a teda aj pre ľubovoľný polynóm dostaneme $p(A)=Pp(J)\inv P$. (Toto sme odvodili aj na cvičení, keď sme sa rozprávali o minimálnom polynóme.)
Teda z $p(A)=0$ vyplýva aj $p(J)=0$. (Špeciálne za $A^2=A$ dostaneme $J^2=J$ a z $A^2=I$ dostaneme $J^2=I$.)
Ešte nám pomôže uvedomiť si, že ak
$$J=
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & * & & & \\
& \lambda_2 & * & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \lambda_{n-1} & * \\
& & & & \lambda_n \\
\end{pmatrix}
$$
(pričom na miestach označených hviezdičkou môžu byť nejaké prvky, ktoré môžu ale nemusia byť nulové), tak pre $J^2$ dostaneme hornú trojuholníkovú maticu, ktorá má na diagonále $\lambda_1^2,\dots,\lambda_n^2$.
Porovnaním prvkov na diagonále dostaneme, že z $J^2=J$ vyplýva $\lambda^2=\lambda$ a z $J^2=I$ dostaneme $\lambda^2=1$ pre každú vlastnú hodnotu.
To isté platí pre vyššie mocniny, resp. podobne by sme vedeli ukázať že $p(J)$ má na diagonále $p(\lambda_1),\dots,p(\lambda_n)$. Teda aby platilo $p(J)=0$, nutne musí platiť $p(\lambda)=0$.
(V tejto konkrétnej úlohe by sme vedeli povedať niečo aj o prvkoch nad diagonálou - ale na to, aby sme dospeli k záveru že $p(\lambda)=0$, to nepotrebujeme.)