msleziak.com

V prípade záujmu by som mohol niekedy (mimo prednášky) porozprávať niečo o komplexných číslach. Najmä pre tých, ktorí komplexné čísla na strednej škole nemali - ale aj niekto, čo ich už ovláda, si môže veci o nich zopakovať. Na dnešnej prednáške sa zdalo, že by možno aj bol záujem - budúci týždeň sa pokúsime dohodnúť na termíne. (Rozumný termín sa zdá byť pondelok 14.00 - vtedy máte voľno v rozvrhu a mali by byť k dispozícii aj voľné miestnosti.)

Komplexné čísla sú určite vec, ktorú by mal ovládať každý absolvent matfyzu. Na tej prednáške by som prebral zhruba to, čo je v dodatku venovanom komplexným číslam v texte s poznámkami k tejto prednáške.

• Algebraický tvar komplexného čísla, počítanie s ním.
• Goniometrický tvar komplexného čísla, prevod medzi algebraickým a goniometrickým tvarom, počítanie s goniometrickým tvarom - Moivrova veta.
• Riešenie kvadratických rovníc (s reálnymi aj komplexným koeficientami.)
• Riešenie binomických rovníc

Čiže je na vás pozrieť sa, či veci, ktoré tam sú ovládate a podľa toho sa rozhodnúť, či by takáto prednáška bola užitočná. To čo tam je, sa dá stihnúť za necelé dve prednášky.

Môžem to ale ešte aj stručne zhrnúť takto - ak viete riešiť úlohy takého typu aké tu vymenujem, tak sa tam asi nedozviete nič nové:

• $(1+\sqrt 3i)\cdot(\sqrt 3+i)=\ldots$?
• Nájdite goniometrický tvar čísla $(1+i)(1-i)$.
• Nájdite komplexné riešenia rovnice a) $x^2-4x+13=0$; b) $x^2-(1+2i)x-3+i=0$. (T.j. kvadratické rovnice s reálnymi a komplexnými koeficientami.)
• Vyriešte rovnice: a) $z^2=\frac{1-3i}{1+3i}-\frac15+\frac35i$; b) $z^6=i$; c) $\frac{z^4}8+i\sqrt3=-1$; d) $z^4=1+i$. (T.j. rovnice tvaru $x^n=b$, kde $n$ je zadané prirodzené číslo a $b$ je zadané komplexné číslo.)
• Viete pomocou komplexných čísel dostať vzorec pre $\cos(x+y)$?

Samozrejme, tým že budete počúvať dve prednášky niečo o komplexných číslach si ich určite neosvojíte. Na to, aby si človek zvykol s nimi robiť a vedel ich používať, určite treba, aby si aspoň samostatne vyskúšal niečo s nimi vyrátať. (Nejaké cvičenia sú aj v texte k prednáške v časti o komplexných číslach.)

Dohodli sme sa, že na komplexné čísla sa stretneme v pondelok 14. októbra od 14.00 v B-čku.
Ďalšie pokračovanie by bolo pravdepodobne o týždeň (21. októbra) - ale definitívne si ďalší termín dohodneme už s tými, čo tam reálne prídu.

EDIT: Dohodli sme sa, že pokračujeme 21. októbra, opäť od 14.00 v posluchárni B.

Čo sme stihli zatiaľ:
Zadefinovali sme komplexné čísla a ukázali, ako sa s nimi počíta (súčet, súčin, delenie). Ukázali sme si, že sčitovanie a násobenie komplexných čísel sa "správa rozumne" (t.j. že komplexné čísla tvoria pole).
Ukázali sme si goniometrický tvar komplexného čísla. Ako posledné sme stihli ukázať Moivrovu vetu - ale chýba mi z nej ešte dôkaz o súčine veľkostí (zatiaľ som len ukázal, ako to funguje s uhlami).

Zhruba som išiel podľa týchto poznámok a zašiel som vetu B.2.3.
Nehovoril som nič o komplexne združených číslach (definícia B.1.7 a úloha B.1.1 v poznámkach) - vrátim sa k nim nabudúce.

V súvislosti s dôkazom, že komplexné čísla skutočne tvoria pole spomeniem, že niektoré veci sme teraz dokazovali dosť ťažkopádne a neskôr, keď sa naučíme niečo o maticiach, tak sa budú dokázať ľahšie. (Vyjdú skoro zadarmo z vecí, ktoré budete vedieť o maticiach.) Ak si teda na to spomeniete niekedy koncom semestra, keď už budete vedieť niečo o násobení matíc, inverzných maticiach, determinantoch, tak sa môžete pozrieť sem: viewtopic.php?t=571 (Alebo sa skúsiť aj sami zamyslieť nad tým, či by ste nevedeli vymyslieť nejaké vhodné matice, ktoré by mohli súvisieť s komplexnými číslami.)

Takže nakoniec nastala zmena - druhé pokračovanie komplexných čísel bude 28. októbra v A-čku od 14.00.
(Dôvod prečo to posúvame je, že jedna skupina informatikov si dohodla náhradné cviko z MA namiesto odpadnutého štvrtku - a chcú ho stihnúť pred prvou písomkou.)

Ak by to náhodou bolo tak, že niektorým z Vás nevyhovuje termín 28. októbra, ale 21. októbra môžete a netýka sa Vás tá náhrada cvičení z analýzy, tak sa mi skúste nejako do pondelka ozvať. V takom prípade by som komplexné čísla urobil v oboch termínoch. (Hovoril by som to isté, v každom z tých dvoch termínov by prišli tí z vás, ktorým lepšie vyhovuje termín 21-ho resp. 28-ho.) Samozrejme, preferujem takú možnosť, že to budem rozprávať len raz.

Dnes sme si povedali o komplexne združených číslach.
Pripomenul som Moivrovu vetu (z minula) a ukázali sme si, že pomocou komplexných čísel vieme ľahko dostať ako vyzerajú súradnice bodu $(x,y)$ zrotovaného o uhol $\varphi$; konkrétne výpočtom $(x+yi)(\cos\varphi+i\sin\varphi)$.
Ukázali sme si, že komplexné čísla môžu pomôcť odvodiť vzorec pre $\cos nx$ a $\sin nx$. (Dajú sa použiť pri veľa ďalších trigonometrických vzorcoch, toto bol len jeden príklad možného použitia. Iná vec čo by sa dala urobiť pomocou komplexných čísel je niečo takéto: How can we sum up $\sin$ and $\cos$ series when the angles are in arithmetic progression?)
Ukázali sme si, ako sa dajú riešiť binomické rovnice a kvadratické rovnice (s reálnymi koeficientmi resp. s komplexnými koeficientmi).
Ešte som stručne spomenul, že v komplexných číslach má každý polynóm koreň. (Tomuto výsledku sa niekedy hovorí základná veta algebry.)