Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)
Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)
Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1310
viewtopic.php?t=1126
viewtopic.php?t=927
viewtopic.php?t=710
viewtopic.php?t=479
Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20
1. cvičenie (25.9.)
S oboma skupinami sme stihli približne to isté. Robili sme príklady z 01zobrazenia.pdf.
Prešli sme úlohy 1a,b,d z časti o skladaní zobrazení. Popritom sme sa trochu pohrali s tým, či vieme nakresliť grafy funkcií, ktoré nám vyšli a pripomenuli sme si nejaké vzorce o goniometrických funkciách.
Potom sme sa rozprávali o injekciách, surjekciách, bijekciách. Pripomenuli sme si definície a povedali, čo vlastne znamenajú. Ukázali sme si, ako vidno z grafu funkcie $\mathbb R\to\mathbb R$, či je injektívna/surjektívna - horizontal line test.
Tiež sme si povedali, že pre zobrazenie $f\colon X\to Y$ medzi konečnými množinami a počty prvkov týchto množín platí:
* Ak $f$ je bijektívne, tak $|X|=|Y|$.
* Ak $f$ je injektívne, tak $|X|\le|Y|$.
* Ak $f$ je surjektívne, tak $|X|\ge|Y|$.
(Neskôr na diskrétnej matematike budete niečo podobné robiť aj s nekonečnými množinami, keď budete definovať pojem kardinality.)
Z časti o injekciách a surjekciách sme stihli úlohy 1 a 2, t.j. vlastne dôkaz týchto dvoch tvrdení:
* Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
* Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
A tiež kontrapríklady na to, že keď tieto tvrdenia trochu pomeníme, tak už nemusia platiť. (Ak $g\circ f$ je surjekcia, $f$ nemusí byť surjekcia. Ak $g\circ f$ je injekcia, $g$ nemusí byť injekcia.)
S oboma skupinami sme stihli približne to isté. Robili sme príklady z 01zobrazenia.pdf.
Prešli sme úlohy 1a,b,d z časti o skladaní zobrazení. Popritom sme sa trochu pohrali s tým, či vieme nakresliť grafy funkcií, ktoré nám vyšli a pripomenuli sme si nejaké vzorce o goniometrických funkciách.
Potom sme sa rozprávali o injekciách, surjekciách, bijekciách. Pripomenuli sme si definície a povedali, čo vlastne znamenajú. Ukázali sme si, ako vidno z grafu funkcie $\mathbb R\to\mathbb R$, či je injektívna/surjektívna - horizontal line test.
Tiež sme si povedali, že pre zobrazenie $f\colon X\to Y$ medzi konečnými množinami a počty prvkov týchto množín platí:
* Ak $f$ je bijektívne, tak $|X|=|Y|$.
* Ak $f$ je injektívne, tak $|X|\le|Y|$.
* Ak $f$ je surjektívne, tak $|X|\ge|Y|$.
(Neskôr na diskrétnej matematike budete niečo podobné robiť aj s nekonečnými množinami, keď budete definovať pojem kardinality.)
Z časti o injekciách a surjekciách sme stihli úlohy 1 a 2, t.j. vlastne dôkaz týchto dvoch tvrdení:
* Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
* Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
A tiež kontrapríklady na to, že keď tieto tvrdenia trochu pomeníme, tak už nemusia platiť. (Ak $g\circ f$ je surjekcia, $f$ nemusí byť surjekcia. Ak $g\circ f$ je injekcia, $g$ nemusí byť injekcia.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20
2. cvičenie (2.10.)
S jednou skupinou sme nie celkom stihli dokončiť príklad o funkciách, s druhou som zasa nedokončil úlohu o grupách. Až na to sme robili s oboma skupinami v podstate to isté:
Zobrazenia.
Pozreli sme sa na tvrdenia, ktoré trochu súvisia s príkladmi z písomky. (A neskôr, keď na fórum dám niečo k úlohám z písomky, tak sem napíšem aj viac detailov k tomuto.)
Máme zobrazenia $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to Z$, navyše vieme, že $f$ je bijekcia. Potom:
a) $g\circ f$ je injekcia $\Leftrightarrow$ $f$ je injekcia;
a) $g\circ f$ je surjekcia $\Leftrightarrow$ $f$ je surjekcia.
Grupy.
Pozreli sme sa na niektoré príklady grúp, sčasti sme to robili z 02binop.pdf.
Na zopakovanie definície grupy sme sa pozreli na to, že $(\mathbb Q,+)$ a $(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$ sú grupy.
Potom sme sa pozreli na úlohy 2.1h,i, t.j.
* $\mathbb R$ s operáciou $\ast$, $a\ast b=a+b-1$;
* $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $\ast$, $a\ast b=ab+a+b$.
V súvislosti s týmito úlohami spomeniem, že tieto grupy sú v nejakom zmysle "trochu zmenené" grupy $(\mathbb R,+)$ a $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$; toto bude asi o čosi jasnejšie neskôr, keď sa budeme učiť o izomorfizme grúp. Nejaký drobný komentár, ktorý s tým súvisí: viewtopic.php?t=495
S jednou skupinou sme nie celkom stihli dokončiť príklad o funkciách, s druhou som zasa nedokončil úlohu o grupách. Až na to sme robili s oboma skupinami v podstate to isté:
Zobrazenia.
Pozreli sme sa na tvrdenia, ktoré trochu súvisia s príkladmi z písomky. (A neskôr, keď na fórum dám niečo k úlohám z písomky, tak sem napíšem aj viac detailov k tomuto.)
Máme zobrazenia $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to Z$, navyše vieme, že $f$ je bijekcia. Potom:
a) $g\circ f$ je injekcia $\Leftrightarrow$ $f$ je injekcia;
a) $g\circ f$ je surjekcia $\Leftrightarrow$ $f$ je surjekcia.
Grupy.
Pozreli sme sa na niektoré príklady grúp, sčasti sme to robili z 02binop.pdf.
Na zopakovanie definície grupy sme sa pozreli na to, že $(\mathbb Q,+)$ a $(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$ sú grupy.
Potom sme sa pozreli na úlohy 2.1h,i, t.j.
* $\mathbb R$ s operáciou $\ast$, $a\ast b=a+b-1$;
* $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $\ast$, $a\ast b=ab+a+b$.
V súvislosti s týmito úlohami spomeniem, že tieto grupy sú v nejakom zmysle "trochu zmenené" grupy $(\mathbb R,+)$ a $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$; toto bude asi o čosi jasnejšie neskôr, keď sa budeme učiť o izomorfizme grúp. Nejaký drobný komentár, ktorý s tým súvisí: viewtopic.php?t=495
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20
3. cvičenie (9.10.)
$(\mathbb R^2,+)$ je komutatívna grupa. (Toto som robil len s 1MAT.)
Nejaké úlohy z 02binop.pdf.
Úloha 2 z časti o binárnych operáciách - ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov dá pre asociatívnu operáciu to isté. (Bez dôkazu sme spomenuli, že to platí aj pre ľubovoľný počet.) Pre zaujímavosť spomeniem, že počet všetkých možných uzátvorkovaní $n$-prkov je $n$-té Catalanove číslo. (Opäť toto som robil len s 1MAT.)
Ukázali sme si, že v grupe platia zákony o krátení. (Úloha 5.) Tiež sme si rozmysleli, čo to hovorí o tabuľke. (V žiadnom riadku a v žiadnom stĺpci sa neopakujú prvky.)
So skupinou 1PMA sme dokázali aj to, že v grupe platí: $(\forall x\in G)(\forall g\in G)(\exists y\in G) x*y=g$; toto hovorí, že v každom riadku sa vyskytnú všetky prvky.
Urobili sme dve úlohy na dopĺňanie čiastočne zadanej tabuľky, konkrétne 3* z časti o binárnych operáciách, 20 z časti o grupách. Trochu sme sa rozprávali o tom ako overiť, či operácia ktorá vyšla je skutočne asociatívna. A tiež sme si povedali, že sa to niekedy dá odvodiť, ak si náhodou všimneme, že ide o tabuľku už známej operácie zapísanú inak. Niečo súvisiace s týmto sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=495
So skupinou 1PMA som stihol prejsť dôkaz toho, že ak na množine $\mathbb Z_n=\{0,1,\dots,n-1\}$ definujeme operáciu $a\cdot b=ab \bmod n$, tak táto operácie je asociatívna. (Na cviku s 1MAT som to spomenul, ale nerobil dôkaz.)
$(\mathbb R^2,+)$ je komutatívna grupa. (Toto som robil len s 1MAT.)
Nejaké úlohy z 02binop.pdf.
Úloha 2 z časti o binárnych operáciách - ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov dá pre asociatívnu operáciu to isté. (Bez dôkazu sme spomenuli, že to platí aj pre ľubovoľný počet.) Pre zaujímavosť spomeniem, že počet všetkých možných uzátvorkovaní $n$-prkov je $n$-té Catalanove číslo. (Opäť toto som robil len s 1MAT.)
Ukázali sme si, že v grupe platia zákony o krátení. (Úloha 5.) Tiež sme si rozmysleli, čo to hovorí o tabuľke. (V žiadnom riadku a v žiadnom stĺpci sa neopakujú prvky.)
So skupinou 1PMA sme dokázali aj to, že v grupe platí: $(\forall x\in G)(\forall g\in G)(\exists y\in G) x*y=g$; toto hovorí, že v každom riadku sa vyskytnú všetky prvky.
Urobili sme dve úlohy na dopĺňanie čiastočne zadanej tabuľky, konkrétne 3* z časti o binárnych operáciách, 20 z časti o grupách. Trochu sme sa rozprávali o tom ako overiť, či operácia ktorá vyšla je skutočne asociatívna. A tiež sme si povedali, že sa to niekedy dá odvodiť, ak si náhodou všimneme, že ide o tabuľku už známej operácie zapísanú inak. Niečo súvisiace s týmto sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=495
So skupinou 1PMA som stihol prejsť dôkaz toho, že ak na množine $\mathbb Z_n=\{0,1,\dots,n-1\}$ definujeme operáciu $a\cdot b=ab \bmod n$, tak táto operácie je asociatívna. (Na cviku s 1MAT som to spomenul, ale nerobil dôkaz.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20
4. cvičenie (16.10.)
S oboma skupinami som prešiel úlohu z písomky. (K písomke napíšem niečo aj na fórum, keď ju budem opravovať.)
Podgrupy.
Niekoľko jednoduchých príkladov podgrúp. (Kontrolovali sme, či $\mathbb N_0$, $3\mathbb Z$, $3\mathbb Z+1$ sú podgrupy $(\mathbb Z,+)$, či $\mathbb Q\setminus\{0\}$ je podgrupa $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$, či $\{(x,x); x\in\mathbb R\}$ a $\mathbb Q\times\mathbb Q$ sú podgrupy $(\mathbb R\times\mathbb R,+)$.)
Úloh nájsť všetky podgrupy v $\mathbb Z_4$ a v $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$. Úloha takéhoto typu pre $\mathbb Z_{12}$ je vyriešená aj na fóre: viewtopic.php?t=770
S oboma skupinami som prešiel úlohu z písomky. (K písomke napíšem niečo aj na fórum, keď ju budem opravovať.)
Podgrupy.
Niekoľko jednoduchých príkladov podgrúp. (Kontrolovali sme, či $\mathbb N_0$, $3\mathbb Z$, $3\mathbb Z+1$ sú podgrupy $(\mathbb Z,+)$, či $\mathbb Q\setminus\{0\}$ je podgrupa $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$, či $\{(x,x); x\in\mathbb R\}$ a $\mathbb Q\times\mathbb Q$ sú podgrupy $(\mathbb R\times\mathbb R,+)$.)
Úloh nájsť všetky podgrupy v $\mathbb Z_4$ a v $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$. Úloha takéhoto typu pre $\mathbb Z_{12}$ je vyriešená aj na fóre: viewtopic.php?t=770
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20
5. cvičenie (23.10.)
Kreslenie. Pripomenuli sme z prednášky: Zobrazenie tvaru $f(x,y)=(ax+by,cx+dy)$ je homomorfizmus $(\mathbb R^2,+)\to(\mathbb R^2,+)$ pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb R$.
Pozreli sme sa na niektoré konkrétne prípady a rozmysleli sme si, čo tieto zobrazenia predstavujú geometricky.
$(x,y)\mapsto(-y,x)$; Rotácia o $\pi/2$ v kladnom smere;
$(x,y)\mapsto(\frac{x-y}{\sqrt2},\frac{x+y}{\sqrt2})$; rotácia o $\pi/4$ v kladnom smere;
$(x,y)\mapsto(x-y,x+y)$ rotácia + natiahnutie;
$(x,y)\mapsto(x+y,y)$; skosenie.
(Ako bonus si môžete skúsiť rozmyslieť, či by ste vedeli nájsť $a$, $b$, $c$, $d$, ktoré dajú rotáciu o uhol $\varphi$. Spomeniem tiež, že sa na to dá prísť aj pomocou komplexných čísel. A tiež to, že z vecí čo sa naučíme neskôr o lineárnych zobrazeniach, to budeme vedieť dostať pomerne jednoducho. Ak sa niekto chce na to pozrieť už teraz, môžete sa nad tým skúsiť zamyslieť; niečo nájdete aj na Wikipédii: Rotation matrix.)
Relácia ekvivalencie. Pozreli sme sa na niekoľko jednoduchých príkladov, kde bolo treba overiť, či daná relácia je alebo nie je reláciou ekvivalencie. Konkrétne časti a), c), f) z úlohy 1.1 v 04faktor.pdf.
Dohodli sme sa, že budúci týždeň nebude malá písomka.
Kreslenie. Pripomenuli sme z prednášky: Zobrazenie tvaru $f(x,y)=(ax+by,cx+dy)$ je homomorfizmus $(\mathbb R^2,+)\to(\mathbb R^2,+)$ pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb R$.
Pozreli sme sa na niektoré konkrétne prípady a rozmysleli sme si, čo tieto zobrazenia predstavujú geometricky.
$(x,y)\mapsto(-y,x)$; Rotácia o $\pi/2$ v kladnom smere;
$(x,y)\mapsto(\frac{x-y}{\sqrt2},\frac{x+y}{\sqrt2})$; rotácia o $\pi/4$ v kladnom smere;
$(x,y)\mapsto(x-y,x+y)$ rotácia + natiahnutie;
$(x,y)\mapsto(x+y,y)$; skosenie.
(Ako bonus si môžete skúsiť rozmyslieť, či by ste vedeli nájsť $a$, $b$, $c$, $d$, ktoré dajú rotáciu o uhol $\varphi$. Spomeniem tiež, že sa na to dá prísť aj pomocou komplexných čísel. A tiež to, že z vecí čo sa naučíme neskôr o lineárnych zobrazeniach, to budeme vedieť dostať pomerne jednoducho. Ak sa niekto chce na to pozrieť už teraz, môžete sa nad tým skúsiť zamyslieť; niečo nájdete aj na Wikipédii: Rotation matrix.)
Relácia ekvivalencie. Pozreli sme sa na niekoľko jednoduchých príkladov, kde bolo treba overiť, či daná relácia je alebo nie je reláciou ekvivalencie. Konkrétne časti a), c), f) z úlohy 1.1 v 04faktor.pdf.
Dohodli sme sa, že budúci týždeň nebude malá písomka.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20
6. cvičenie (30.10.)
Homomorfizmy. V vrátili sme sa k úlohám 2 a 4 z PU5. (S každou skupinou k tým častiam, čo neboli na povinnom cviku.) Popritom sme sa trochu porozprávali o delení so zvyškom a o izomorfizmoch.
Relácie ekvivalencie.
Z 04faktor.pdf sme sa pozreli na úlohu 1.1 časti e, i, j. Potom sme sa pozreli, že viaceré príklady sa dajú brať ako špeciálne príklady relácie určenej pomocou podgrupy $H$ a podmienky $x-y\in H$ resp. relácie určenej nejakým zobrazením $f$ a podmienkou $f(x)=f(y)$. (To sú vlastne relácie v častiach r a s.)
Dohodli sme sa, že ďalšia malá písomka sa bude týkať relácií ekvivalencie.
Homomorfizmy. V vrátili sme sa k úlohám 2 a 4 z PU5. (S každou skupinou k tým častiam, čo neboli na povinnom cviku.) Popritom sme sa trochu porozprávali o delení so zvyškom a o izomorfizmoch.
Relácie ekvivalencie.
Z 04faktor.pdf sme sa pozreli na úlohu 1.1 časti e, i, j. Potom sme sa pozreli, že viaceré príklady sa dajú brať ako špeciálne príklady relácie určenej pomocou podgrupy $H$ a podmienky $x-y\in H$ resp. relácie určenej nejakým zobrazením $f$ a podmienkou $f(x)=f(y)$. (To sú vlastne relácie v častiach r a s.)
Dohodli sme sa, že ďalšia malá písomka sa bude týkať relácií ekvivalencie.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20
7. cvičenie (6.11.)
So skupinou 1PMA sme sa pozreli na rozšírený Euklidov algoritmus. (Skupina 1MAT ho videla na pondelkovom cviku.) Niečo o ňom sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=298
Pozreli sme sa na niektoré príklady faktorových grúp z http://msleziak.com/vyuka/2019/lag/faktorove.pdf
S oboma skupinami sme urobili faktorovú grupu $(\mathbb R^2,+)$ podľa $H=\{(t,2t); t\in\mathbb R\}$.
S jednou skupinou sme stihli ukázať izomorfizmus medzi faktorovou grupou $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ podľa podgrupy $S=\{x\in\mathbb C; |x|=1\}$ (teda podľa jednotkovej kružnice) a grupou $(\mathbb R^+,\cdot)$.
Malá písomka budúci týždeň sa bude týkať homomorfizmov.
So skupinou 1PMA sme sa pozreli na rozšírený Euklidov algoritmus. (Skupina 1MAT ho videla na pondelkovom cviku.) Niečo o ňom sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=298
Pozreli sme sa na niektoré príklady faktorových grúp z http://msleziak.com/vyuka/2019/lag/faktorove.pdf
S oboma skupinami sme urobili faktorovú grupu $(\mathbb R^2,+)$ podľa $H=\{(t,2t); t\in\mathbb R\}$.
S jednou skupinou sme stihli ukázať izomorfizmus medzi faktorovou grupou $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ podľa podgrupy $S=\{x\in\mathbb C; |x|=1\}$ (teda podľa jednotkovej kružnice) a grupou $(\mathbb R^+,\cdot)$.
Malá písomka budúci týždeň sa bude týkať homomorfizmov.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20
8. cvičenie (13.11.)
Priestory a podpriestory.
Riešili sme niektoré úlohy z 06vpry.pdf.
Konkrétne sme sa pozreli na priestor $(\mathbb Z_3)^n$ (úloha 1.2).
Pre niektoré podmnožiny $\mathbb R^3$ sme overili, či ide o podpriestor - časti a,b,c,d,f z úlohy 2.1.
S 1MAT sme stihli aj niektoré podpriestory priestoru všetkých reálnych funkcií - časti a, c z úlohy 2.2. (Stručne sme na konci niečo povedali aj o časti d, ale tú sme už poriadne vyriešiť nestihli.)
Dohodli sme sa, že malá písomka budúci týždeň sa bude týkať podpriestorov.
Priestory a podpriestory.
Riešili sme niektoré úlohy z 06vpry.pdf.
Konkrétne sme sa pozreli na priestor $(\mathbb Z_3)^n$ (úloha 1.2).
Pre niektoré podmnožiny $\mathbb R^3$ sme overili, či ide o podpriestor - časti a,b,c,d,f z úlohy 2.1.
S 1MAT sme stihli aj niektoré podpriestory priestoru všetkých reálnych funkcií - časti a, c z úlohy 2.2. (Stručne sme na konci niečo povedali aj o časti d, ale tú sme už poriadne vyriešiť nestihli.)
Dohodli sme sa, že malá písomka budúci týždeň sa bude týkať podpriestorov.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20
9. cvičenie (20.11.)
Sústavy. Nejaký čas sme strávili tým, že sme sa pozreli na to, ako vyčítať množinu riešení sústavy (ak sme už upravili maticu sústavy na jednoduchší tvar).
Takisto sme porozprávali niečo o skúške správnosti, zhruba to isté čo je napísané aj tu: viewtopic.php?t=522
Z 07sustavy.pdf sme stihli vyrátať dve sústavy nad poľom $\mathbb R$. (Druhú a tretiu z úlohy 3.)
Ešte sme na konci stihli nejakú sústavu s parametrom (úloha 8 - len sme zmenili rozmer na $3\times3$). Riešenie príkladu, ktorý je aspoň do istej miery podobný: viewtopic.php?t=579
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude na stredajšom cviku malá písomka zameraná na témy sústavy rovníc.
Sústavy. Nejaký čas sme strávili tým, že sme sa pozreli na to, ako vyčítať množinu riešení sústavy (ak sme už upravili maticu sústavy na jednoduchší tvar).
Takisto sme porozprávali niečo o skúške správnosti, zhruba to isté čo je napísané aj tu: viewtopic.php?t=522
Z 07sustavy.pdf sme stihli vyrátať dve sústavy nad poľom $\mathbb R$. (Druhú a tretiu z úlohy 3.)
Ešte sme na konci stihli nejakú sústavu s parametrom (úloha 8 - len sme zmenili rozmer na $3\times3$). Riešenie príkladu, ktorý je aspoň do istej miery podobný: viewtopic.php?t=579
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude na stredajšom cviku malá písomka zameraná na témy sústavy rovníc.