Podpriestory

[Martin Sleziak]

Ak sa chcete pozrieť na príklady z minulých rokov z tejto témy (alebo podobných tém):
viewtopic.php?t=976
viewtopic.php?t=529
viewtopic.php?t=530
viewtopic.php?t=773
viewtopic.php?t=774

Zadanie vo všetkých skupinách bolo podobné, pozrime sa na jednu z nich.

Zadanie:

Dokážte, alebo nájdite kontrapríklad:
Ak $S$ je vektorový podpriestor priestoru $\mathbb R^3$, tak aj
$$T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; (x+y,y,z)\in S\}$$
je podpriestor priestoru $\mathbb R^3$.

Riešenie:
Poďme to najprv skontrolovať jednoducho priamo z definície.

$T\ne\emptyset$ Stačí si všimnúť, že pre $(x,y,z)=(0,0,0)$ dostaneme $(x+y,y,z)=(0,0,0)$. Vieme, že $(0,0,0)\in S$. (Každý podpriestor obsahuje nulový vektor.) Dostaneme teda, že aj $(0,0,0)\in T$.

Súčet.
Chceme skontrolovať, či ak $\vec x, \vec y\in T$, tak aj $\vec x+\vec y\in T$.
Označme si $\vec x=(x,y,z)$, $\vec y=(x',y',z')$.
Predpokladáme, že tieto vektory patria do $T$, čo znamená že vektory $(x+y,y,z)$ a $(x'+y',y',z')$ patria do $S$.
Pretože $S$ je podpriestor, tak aj ich súčet patrí do $S$.
Zistili sme teda, že
$$(x+y,y,z)+(x'+y',y',z')=(x+x'+y+y',y+y',z+z')\in S$$
čo znamená, že $(x+x',y+y',z+z')\in T$.

Ukázali sme teda, že súčet dvoch vektorov z $T$ opäť patrí do $T$.

Skalárny násobok.
Nech $\vec x=(x,y,z)\in T$. To znamená, že $(x+y,y,z)\in S$.
Potom aj $c(x+y,y,z)=(cx+cy,cy,cz)\in S$. Z toho dostávame, že aj vektor $c\vec x=(cx,cy,cz)\in T$.

Ukázali sme, že skalárny násobok ľubovoľného vektora z $T$ opäť patrí do $T$.

Vidíme teda, že $T$ je podpriestor.

[Martin Sleziak]

Lineárne zobrazenia.
Môžeme si povedať aj to, že táto úloha sa dá veľmi prirodzeným spôsobom zovšeobecniť.

Množina $T$ bola zadaná podmienkou
$$T=\{\vec x\in\mathbb R^3; f(\vec x)\in S\},$$
kde $f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ je zobrazenie zadané predpisom
$$f(x,y,z)=(x+y,y,z).$$

Všimnime si, že toto zobrazenie spĺňa podmienky
\begin{gather*}
f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)\\
f(c\vec x)=cf(\vec x)
\end{gather*}
pre ľubovoľné vektory $\vec x,\vec y\in\mathbb R^3$ a ľubovoľný skalár $c\in\mathbb R$.

Spoiler:

Označme $\vec x=(x,y,z)$, $\vec y=(x',y',z')$. Potom
$f(\vec x+\vec y)=f(x+x',y+y',z+z')=(x+x'+y+y',y+y',z+z')=(x+y,y,z)+(x'+y',y',z')=f(\vec x)+f(\vec y)$
$f(c\vec x)=f(cx,cy,cz)=(cx+cy,cy,cz)=c(x+y,y,z)=cf(\vec x)$

Všimnime si, že pre toto zobrazenie tiež platí $f(\vec 0)=\vec0$.

V ostatných skupinách bolo tiež takéto zadanie, iba s iným zobrazením $f$. (Ktoré však tiež spĺňalo tieto podmienky.)

Zobrazeniami s takýmito vlastnosťami sa ešte budeme zaoberať, voláme ich lineárne zobrazenia.

Všimnime si, že tieto dve vlastnosti úplne stačia na to, aby sme zdôvodnili, že $T=f^{-1}(S)$ je podpriestor - vlastne dôkaz vyzerá veľmi podobne ako riešenie, ktoré sme napísali vyššie. Akurát vďaka tomu, že sme zaviedli označenie pre zobrazenie $f$, môžeme celý dôkaz zapísať o čosi stručnejšie.

Opäť stačí overiť podmienky pre podpriestor:
$T\ne\emptyset$ Vidíme, že $\vec0\in T$, pretože $f(\vec0)=\vec0\in S$.
Súčet vektorov. Ak $\vec x,\vec y\in T$, tak $f(\vec x), f(\vec y)\in S$. Potom aj $f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)\in S$, a teda $\vec x+\vec y\in T$.
Skalárny násobok. Ak $\vec x\in T$, tak $f(\vec x)\in S$. Potom aj $f(c\vec x)=cf(\vec x)\in S$. Dostali sme, že $c\vec x\in T$.

Vlastne sme takto dostali špeciálny prípad tvrdenia, ktoré neskôr bude na prednáške - vzor podpriestoru v lineárnom zobrazení je opäť podpriestor. (Veta 8.2 v zelenej knihe, veta 4.1.6 v bielej knihe.)

[Martin Sleziak]

K niektorým riešeniam

Našli sa riešenia, v ktorých ste overovali, či súčet a skalárny násobok vektorov tvaru $(x+y,y,z)$ je opäť vektor takéhoto tvaru. Týmto by ste overili, či množina $\{(x+y,y,z); x,y,z\in\mathbb R\}$ tvorí vektorový podpriestor.
Podobné riešenia sa vyskytli aj v iných skupinách.
Všeobecnejšie: Ak $f\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ je lineárne zobrazenie, tak množina $\{f(\vec x); \vec x\in\mathbb R^3\}$ je tiež podpriestor.
Toto je síce pravda - je to však iná úloha než to, čo ste mali dokázať.
(Možno sa opäť oplatí spomenúť, že toto sa dá zovšeobecniť - obraz podpriestoru v lineárnom zobrazení je opäť podpriestor.)

V skupine D, kde bolo zadanie také, že $(x,2y,3z)\in S$ niekto ukazoval, že vektory tvaru $(-2y-3z,2y,3z)$ tvoria podpriestor.
Toto by fungovalo, ak by bola úloha zistiť či množina vektorov $\{(x,y,z); x+2y+3z=0\}$ tvorí podpriestor. Resp. dá sa na to pozerať aj ako na vyriešenie zadanej úlohy v špeciálnom prípade, že $S=\{\vec0\}$.
Úlohou však bolo dokázať to pre ľubovoľný podpriestor $S$ (nie iba pre nulový).