Čo pridať, keď chcem bázu?

[Martin Sleziak]

Všetky skupiny mali rovnaké zadanie, iba iné vektory. Ukážem tu riešenie pre jednu skupinu.

Zadanie

Zistite, ktorý z vektorov $\vec x$, $\vec y$, $\vec z$ sa dá pridať k $\{\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\}$ tak, aby sme dostali bázu priestoru $\mathbb R^4$. (Je možné, že to neplatí pre žiadny z týchto vektorov, alebo že je viacero možností - v takom prípade je vašou úlohou nájsť všetky.)
Dajú sa vektory
\begin{align*}
\vec a_1&=(1,1,1,1)\\
\vec a_2&=(1,2,2,1)\\
\vec a_3&=(2,1,0,1)
\end{align*}
doplniť na bázu priestoru $\mathbb R^4$ niektorým z vektorov $\vec x=(1,3,0,-2)$, $\vec y=(2,1,1,2)$, $\vec z=(1,1,1,3)$?

Úloha sa v princípe dá riešiť aj tak, že postupne vyskúšam, či že $\vec a_1,\vec a_2, \vec a_3, \vec x$ tvorí bázu, potom to isté urobím s vektorom $\vec y$ a ešte raz s vektorom $\vec z$. (Teda vlastne trikrát riešim sústavu alebo trikrát upravujem maticu na redukovaný stupňovitý tvar.)

Skúsme, či to vieme vyriešiť o niečo efektívnejšie - bez toho, aby sme museli trikrát robiť to isté.

Riešenie

Skúsme najprv nájsť jednoduchšiu bázu pre podpriestor $[\vec a_1,\vec a_2, \vec a_3]$. To môžeme urobiť úpravou na redukovaný stupňovitý tvar. (A opäť zopakujem to, čo som hovoril viackrát - pri takejto úlohe by sa rovnako dobre dala použiť aj matica ktorá má jednu jednotku a ostatné nuly v iných stĺpcoch - nemusia to nutne byť prvé tri.)
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 &-1 &-2 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 &-1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Môžeme si všimnúť, že týmto sme súčasne overili lineárnu nezávislosť vektorov $\vec a_1$, $\vec a_2$ a $\vec a_3$.

Dostali sme nové vektory $\vec b_1=(1,0,0,1)$, $\vec b_2=(0,1,0,-1)$, $\vec b_3=(0,0,1,1)$, ktoré generujú ten istý podpriestor ako pôvodne zadané vektory. Čiže sme prinajmenšom pôvodnú úlohu o niečo zjednodušili. (Namiesto pôvodnej otázky stačí riešiť to isté pre vektory $\vec b_1$, $\vec b_2$ a $\vec b_3$, ktoré už sú jednoduchšie.)

Pre tieto nové vektory vieme už veľmi ľahko zistiť, či nejaký vektor patrí do ich lineárneho obalu - pretože koeficienty si vieme prečítať z pozícií, kde máme vedúce jednotky.
Takto zistíme, že
$\vec x=(1,3,0,-2)\in[\vec a_1,\vec a_2, \vec a_3]$;
$\vec y=(2,1,1,2)\in[\vec a_1,\vec a_2, \vec a_3]$;
$\vec z=(1,1,1,3)\notin[\vec a_1,\vec a_2, \vec a_3]$

Spoiler:

$1\cdot(1,0,0,1)+3\cdot(0,1,0,-1)+0\cdot(0,0,1,1)=(1,3,0-2)=\vec x$
$2\cdot(1,0,0,1)+1\cdot(0,1,0,-1)+1\cdot(0,0,1,1)=(2,1,1,2)=\vec y$
$1\cdot(1,0,0,1)+1\cdot(0,1,0,-1)+1\cdot(0,0,1,1)=(1,1,1,1)\ne\vec z$

Teda ak k trom zadaným vektorom pridáme $\vec x$ alebo $\vec y$, dostaneme lineárne závislé vektory, čo nie je báza.
Vektor $\vec z$ ale nie je lineárnou kombináciou $\vec a_1$, $\vec a_2$ a $\vec a_3$, teda tieto štyri vektory sú už lineárne nezávislé a tvoria bázu.

[Martin Sleziak]

Chyby v odovzdaných riešeniach
Niektorí z vás ste postupovali tak, ako som napísal vyššie. Ale záver ste urobili presne opačný.
(Tvrdili ste, že pre $\vec x$, $\vec y$ dostaneme bázu - hoci vtedy vám vyšlo, že ide o lineárnu kombináciu zadaných vektorov. A že pre $\vec z$ bázu nedostaneme.)

Ak zisťujete závislosť vektorov riešením sústavy, tak opäť - ak je vektor lineárnou kombináciou $\vec a_1$, $\vec a_2$, $\vec a_3$, tak jeho pridaním nedostaneme bázu. Bázu dostaneme vtedy, ak nie je lineárnou kombináciou.
T.j. ak ste riešili sústavu pre $\vec x$
$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 &-2
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 &-10\\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$
Zistili ste, že táto sústava má riešenie, teda $\vec x$ je lineárna kombinácia zadaných troch vektorov; konkrétne $\vec x=-10\vec a_1+5\vec a_2+3\vec a_3$. (Z toho vidíme, že pridaním tohoto vektora nedostaneme bázu. Platí $[\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3]=[\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3,\vec x]$, a teda aj keď sme ho pridali, stále nevygenerujeme celé $\mathbb R^4$.)

Pre vektor $\vec z$:
$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$
Táto sústava nemá riešenie - čo znamená, že $\vec z$ nie je lineárna kombinácia vektorov $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3$, jeho pridaním teda dostaneme bázu.

[Martin Sleziak]

Ešte teda poznamenám aj to, že ak sa rozhodnem pomocou sústavy zisťovať, či $\vec x$, $\vec y$, $\vec z$ sú lineárnou kombináciou zadaných vektorov, tak môžem tieto sústavy vyriešiť aj naraz:
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 &-2 & 2 & 3
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 &-10& 3 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 5 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)$

Spoiler:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 &-2 & 2 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 &-2 & 2 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 &-5 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 &-5 & 2 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 &-5 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 5 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 &-10& 3 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 5 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)$

Keď si vpravo všímam iba jeden stĺpec, tak sa vlastne pozerám na sústavu zodpovedajúcu vektoru $\vec x$, $\vec y$, $\vec z$.
Ak pravé strany sú určené tretím stĺpcom, tak som dostal rovnicu $0=2$ a sústava nemá riešenie. (Teda $\vec z$ nie je lineárna kombinácia vektorov $\vec a_1$, $\vec a_2$, $\vec a_3$. A ak som už predtým overil nezávislosť vektorov $\vec a_1$, $\vec a_2$, $\vec a_3$, tak viem, že pridaním vektora $\vec z$ dostanem bázu.)

Z prvých dvoch stĺpcov si viem prečítať koeficienty také, že $\vec x$ resp. $\vec y$ je lineárne kombinácia vektorov $\vec a_1$, $\vec a_2$, $\vec a_3$. Pridaním niektorého z týchto dvoch vektorov teda určite bázu nedostanem.

[Martin Sleziak]

Ešte spomeniem aj takúto vec - ktorá môže pomôcť aj pri iných typoch úloh.
Povedzme, že sme už bázu zadaného priestoru upravili na jednoduchší tvar:

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

A že sa teraz na tieto vektory pozrieme a všimneme si tieto veci:

• Všetky tri riadky redukovanej matice spĺňajú rovnicu $x_1-x_2+x_3-x_4=0$.
• Obrátene, množina riešení tejto rovnice je podpriestor v $\mathbb R^4$.
• Riadky redukovanej matice tvoria bázu tohto podpriestoru.

Tým sme získali iné vyjadrenie pre zadaný podpriestor:
$$S=[\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3]=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1-x_2+x_3-x_4=0\}.$$
A ak chceme pre nejaký vektor overiť, či patrí do tohoto podpriestoru, tak stačí kontrolovať, či jeho súradnice spĺňajú $x_1-x_2+x_3-x_4=0$. (Alebo ekvivalentne $x_1+x_3=x_2+x_4$.|

Trochu "podvádzam" v tom zmysle, že takéto niečo (nájsť k danému podpriestoru vhodnú sústavu) sa budeme učiť neskôr - a keď budeme mať k tomu pripravenú teóriu, tak to bude o čosi jednoduchšie. (Konkrétne keď budeme vedieť ako sa dá vyjadriť dimenzia podpriestoru riešení homogénnej sústavy.)
Ale aj tak som to spomenul už na tomto mieste. Možno v takomto prípade, keď vyšla iba jedna rovnica, sa na to dá prísť.
A aj ak by sme nevedeli, že $S$ sa presne rovná množine riešení tejto rovnice, už samotný fakt že každý vektor z $S$ túto rovnicu musí spĺňať, môže byť užitočný.

Ako som spomínal, takéto typy príkladov (je zadaný podpriestor a chceme ho vyjadriť ako množinu riešení nejakej sústavy) ešte budeme riešiť. Niečo je k takýmto úlohám aj na fóre: viewtopic.php?t=1482 a viewtopic.php?t=412